Inde
Avril
2015
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Spécifique
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Mathématiques
Algorithme, suite - Évolution d'une population d'abeilles
Algorithmique
Suites
.icon_annales.png Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région.

Sujet 7Algorithme, suite – Évolution d’une population d’abeilles45 min

Inde, avril 2015

ES – Enseignement spécifique
L – Enseignement de spécialité

Algorithmique

Suites

Exercice

5 pts

Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En juillet 2014, il achète 300 colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.

Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s’attend à perdre 8 % des colonies durant l’hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d’installer 50 nouvelles colonies chaque printemps.

1 On considère l’algorithme suivant :

Variables :

n est un nombre entier naturel

C est un nombre réel

Traitement :

Affecter à C la valeur 300

Affecter à n la valeur 0

Tant que C < 400 faire

    C prend la valeur C – C × 0,08 + 50

    n prend la valeur n + 1

Fin du tant que

Sortie :

Afficher n

a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les résultats seront arrondis à l’entier le plus proche. 0,5 pt

Test C < 400

x x x

vrai

      

. . .

Valeur de C

300

326

. . .

Valeur de n

0

1

. . .

0,5 pt

b. Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème. 0,5 pt

2 On modélise l’évolution du nombre de colonies par une suite (Cn), le terme Cn donnant une estimation du nombre de colonies pendant l’année 2014 + n. Ainsi C0 = 300 est le nombre de colonies en 2014.

a. Exprimer, pour tout entier n, le terme Cn + l en fonction de Cn.
0,75 pt

b. On considère la suite (Vn) définie, pour tout entier n, par Vn = 625 - Cn·

Montrer que pour tout nombre entier n, on a Vn + l = 0,92 × Vn·
0,5 pt

c. En déduire que pour tout entier naturel n, on a :

Cn = 625 - 325 × 0, 92n.
0,75 pt

d. Combien de colonies l’apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2024 ? 0,5 pt

3 L’apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d’années il lui faudra pour atteindre cet objectif.

a. Comment modifier l’algorithme pour répondre à sa question ? 0,75 pt

b. Donner une réponse à cette question de l’apiculteur. 0,75 pt

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