Exercice

Partie A

Restitution organisée de connaissances

Soit Δ une droite de vecteur directeur v → et soit 𝒫 un plan.

On considère deux droites sécantes et contenues dans 𝒫 ; la droite D₁ de vecteur directeur u 1 → et la droite D₂ de vecteur directeur u 2 → .

Montrer que Δ est orthogonale à toute droite de 𝒫 si et seulement si Δ est orthogonale à D₁ et à D₂.

Partie B

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les trois points :

A(0 ; – 1 ; 1), B(4 ; – 3 ; 0) et C(–1 ; – 2 ; – 1).

On appelle 𝒫 le plan passant par A, B et C.

On appelle Δ la droite ayant pour représentation paramétrique :

{ x=t y=3t–1 z=–2t+8

avec t appartenant à ℝ.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1 Affirmation 1 : Δ est orthogonale à toute droite du plan 𝒫.

2 Affirmation 2 : Les droites Δ et (AB) sont coplanaires.

3 Affirmation 3 : Le plan 𝒫 a pour équation cartésienne :

x + 3y –2z + 5 = 0.

4 On appelle D la droite passant par l’origine et de vecteur directeur :

u → (11;–1;4).

Affirmation 4 : La droite D est strictement parallèle au plan d’équation :

x + 3y – 2z + 5 = 0.