Exercice

On note ℂ l’ensemble des nombres complexes.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O; u → , v → ). On prendra comme unité 2 cm sur chaque axe.

Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.

On considère la fonction f qui, à tout nombre complexe z, associe :

f (z) = z² + 2z + 9.

1 Calculer l’image de –1+i 3 par la fonction f.

2 Résoudre dans ℂ l’équation f(z) = 5.

Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.

Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l’affixe est solution de l’équation (A étant le point dont l’affixe a une partie imaginaire positive).

On laissera les traits de construction apparents.

3 Soit λ un nombre réel. On considère l’équation f(z) = λ d’inconnue z.

Déterminer l’ensemble des valeurs de λ pour lesquelles l’équation f(z) = λ admet deux solutions complexes conjuguées.

4 Soit (F) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe z vérifie :

|f(z) – 8| = 3.

Prouver que (F) est le cercle de centre Ω(– 1; 0) et de rayon 3.

Tracer (F) sur le graphique.

5 Soit z un nombre complexe, tel que z = x + iy où x et y sont des nombres réels.

a. Montrer que la forme algébrique de f(z) est :

x² – y² + 2x + 9 + i (2xy + 2y).

b. On note (E) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe z est telle que f(z) soit un nombre réel.

Montrer que (E) est la réunion de deux droites D₁ et D₂ dont on précisera les équations.

Compléter le graphique en traçant ces droites.

6 Déterminer les coordonnées des points d’intersection des ensembles (E) et (F).