Vrai – Faux

Calculatrice interdite ; répondre par Vrai ou Faux sans justification ; + 1 si bonne réponse, – 1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d’un point pour un exercice entièrement juste.

Soit F₁ et g les fonctions définies sur ℝ respectivement par :

F₁(x) = e^–x – 2x

et g(x)= e –x (x+1) e –x +2.

On désigne par (𝒞) la courbe représentative de la fonction F₁ et par (x_n) la suite définie, pour tout n ∈ ℕ, par x₀ = 1 et x_n + 1 = g(x_n).

a. L’équation F₁(x) = 0 admet une unique solution α avec 0 < α < 1.

Dans les questions b., c. et d., on admet la convergence de la suite (x_n).

b. lim n→+∞ x n =α.

c. Si a ∈ ℝ, alors la tangente à (𝒞) en x = a coupe l’axe des abscisses en un point d’abscisse g(a).

On donne le programme Prog ci-dessous :

d. Pour n = 5, Prog affiche 0,3125 et 0,375, nous pouvons en déduire que 0,3125 < α < 0,375.