Polynésie
Septembre
2011
Bac
Spécifique
Tle ES
Mathématiques
Fonction exponentielle, équation, position relative de courbes
Fonctions
.icon_annales.png On s'intéresse dans cet exercice à la fonction f définie sur l'ensemble des réels.

3Fonction exponentielle, Équation, Position relative de courbes45 min

Polynésie, septembre 2011

ES – Enseignement spécifique
L – Enseignement de spécialité

Fonctions

Exercice

5 pts

Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O; i , j ) d’unité graphique 2 cm.

On s’intéresse dans cet exercice à la fonction f définie sur l’ensemble des réels par :

f( x )=1+x e x .

On note 𝒞 sa courbe représentative dans le repère ( O; i , j ) .

1 On admet que la fonction f est dérivable sur et on note f sa fonction dérivée.

a.  Montrer que, pour tout nombre réel x, f ( x )=( x+1 ) e x .

b. Dresser le tableau de variation de la fonction f (la valeur de l’extremum sera arrondie à 10 2 ).

2 Justifier que l’équation f( x )=0 admet dans l’intervalle [ 0;1 ] une unique solution α.

Donner un encadrement de α d’amplitude 10 2 .

3 Démontrer qu’une équation de la tangente T à la courbe 𝒞 au point d’abscisse 0 est y=x1 .

4 Dans le repère ( O; i , j ) , tracer la droite T et la courbe 𝒞.

Quelle conjecture peut-on faire sur la position de la courbe 𝒞 par rapport à la droite T ?

5 Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Justifier la conjecture émise à la question 4.

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