Amérique du Sud
Novembre
2013
Bac
Spécifique
Tle S
Mathématiques
Fonction exponentielle, suite géométrique
Fonctions
Suites
.icon_annales.png Déterminer la limite de la fonction f.

1Fonction exponentielle, Suite géométrique1 h 10

Amérique du sud, novembre 2013

Enseignement spécifique

Fonctions

Suites

Exercice

6 pts

Partie A

Soit f la fonction définie sur ℝ par :

f(x) = xe1 – x

1 Vérifier que pour tout réel x, f(x)=e× x e x .

2 Déterminer la limite de la fonction f en – ∞.

3 Déterminer la limite de la fonction f en + ∞. Interpréter graphiquement cette limite.

4 Déterminer la dérivée de la fonction f.

5 Étudier les variations de la fonction f sur ℝ, puis dresser le tableau de variation.

Partie B

Pour tout entier naturel n non nul, on considère les fonctions gn et hn définies sur ℝ par :

gn(x) = 1 + x + x2 + … + xn et hn(x) = 1 + 2x + … + nxn – 1.

1 Vérifier que, pour tout réel x, (1 – x)gn(x) = 1 – xn + 1.

On obtient alors, pour tout réel x ≠ 1, g n (x)= 1 x n+1 1x .

2 Comparer les fonctions gn et hn, gn étant la dérivée de la fonction gn.

En déduire que, pour tout réel x ≠ 1, h n (x)= n x n+1 (n+1) x n +1 (1x) 2 .

3 Soit Sn = f(1) + f(2) + … + f(n), f étant la fonction définie dans la partie A.

En utilisant les résultats de la partie B, déterminer une expression de Sn, puis sa limite quand n tend vers + ∞.

Voir le corrigé

Cet article est réservé aux abonnés
ou aux acheteurs de livres ABC du Bac

Pour approfondir le thème...

Tle S
Mathématiques
Fonctions
Spécifique
Exercice d'entraînement Bac
.icon_exercice.png
Testez vos connaissances sur les fonctions exponentielles avec des QCM.
Difficulté:
Difficulté 1 Difficulté 2 Difficulté 3 Difficulté 4
fonction exponentielle | équation | ensemble de solutions | dérivée | limite
Tle S
Mathématiques
Fonctions
Spécifique
Exercice d'entraînement Bac
.icon_exercice.png
Testez vos connaissances sur les limites de fonctions et les théorèmes de comparaison avec des QCM.
Difficulté:
Difficulté 1 Difficulté 2 Difficulté 3 Difficulté 4
limite | asymptote | théorème sur les limites de quotients | théorème sur les limites de produits | théorème de camparaison
Tle S
Mathématiques
Fonctions
Spécifique
Exercice d'entraînement Bac
.icon_exercice.png
Testez-vous sur les fonctions sinus et cosinus et leurs dérivées avec des QCM.
Difficulté:
Difficulté 1 Difficulté 2 Difficulté 3 Difficulté 4
cosinus | sinus | tangente | fonction trigonométrique | variation
Tle S
Mathématiques
Algorithmique, Fonctions, Géométrie dans l'espace, Nombres complexes, Probabilités et statistiques
Spécifique
Mai
2013
Sujet d'annales
.icon_annales.png
Entraînez-vous au concours Geipi-Polytech grâce à 4 exercices issus du concours de 2013.
loi binomiale | fonction exponentielle | suite convergente | algorithmique | vecteur | coordonnée
Tle S
Mathématiques
Algorithmique, Fonctions, Géométrie dans l'espace, Nombres complexes, Suites
Spécifique
Mai
2013
Sujet d'annales
.icon_annales.png
Entraînez-vous au concours Puissance 11 grâce à 16 exercices issus du concours de 2013.
dérivée | limite | fonction | algorithmique exponentielle | intégrale