Exercice

Partie A

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [ −10 ; 30 ] par :

f( x )=5+x e 0,2x−1 .

On admet que f est dérivable sur cet intervalle et admet des primitives sur cet intervalle.

1 Soit f ′ la fonction dérivée de la fonction f. Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle [ −10 ; 30 ] :

f ′ ( x )=( 0,2x+1 ) e 0,2x−1 .

2 En déduire le sens de variation de f sur l’intervalle [ −10 ; 30 ].

3 Justifier que l’équation f( x )=80 admet une solution unique α dans l’intervalle [ 0 ; 20 ] et donner un encadrement de α à 0, 1 près.

4 Soit F la fonction définie sur [ −10 ; 30 ] par ;

F( x )=5( x−5 ) e 0,2x−1 +5x.

On admet que F est une primitive de f dans l’intervalle [ −10 ; 30 ].

a. Calculer la valeur exacte de I= ∫ 5 10 f( x )dx.

b. En déduire la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [ 5 ; 10 ]. (On donnera une valeur arrondie au centième.)

Partie B

En 2010, un styliste a décidé d’ouvrir des boutiques de vêtements à prix modérés, tout d’abord dans son pays d’origine, puis dans la communauté européenne et au niveau mondial.

Il a utilisé la fonction f définie dans la partie A, mais seulement sur l’intervalle [ 0 ; 20 ], pour modéliser son développement et a désigné par f( x ) le nombre de magasins de son enseigne existant en 2010 + x.

1 Calculer f( 0 ) et interpréter le résultat.

2 En utilisant la partie A, indiquer à partir de quelle année la chaîne possédera 80 boutiques.

3 Chaque magasin a un chiffre d’affaires journalier moyen de 2 500 euros. Si on considère qu’un magasin est ouvert 300 jours par an, calculer à la centaine d’euros près, le chiffre d’affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l’ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020.