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France métropolitaine
Juin
2016
Bac
Spécifique
Tle S
Mathématiques
Fonction logarithme, algorithme, suite
Algorithmique
Fonctions
Suites
.icon_annales.png Montrer que la suite est convergente.

Sujet 1Fonction logarithme, algorithme, suite1 heure

France métropolitaine, La Réunion, juin 2016

Enseignement spécifique

Fonctions

Algorithmique

Suites

Exercice

5 pts

Partie A

Soit f la fonction définie sur par f (x) = x – ln(x2 + 1).

1 Résoudre dans l’équation f (x) = x. 0,5 pt

2 Justifier tous les éléments du tableau de variation ci-dessous à l’exception de la limite de la fonction f en + ∞ que l’on admet. 0,5 pt

img1

3 Montrer que, pour tout réel x appartenant à [0 ; 1], f (x) appartient à [0 ; 1]. 0,5 pt

4 On considère l’algorithme suivant :

Variables :

N et A des entiers naturels

Entrée :

Saisir la valeur de A

Traitement :

N prend la valeur 0

Tant que N – ln (N2 + 1) < A

 

 

N prend la valeur N + 1

Fin tant que

Sortie :

Afficher N

a. Que fait cet algorithme ? 0,75 pt

b. Déterminer la valeur N fournie par l’algorithme lorsque la valeur saisie pour A est 100. 0,75 pt

Partie B

Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n :

u n+1 = u n ln( u n 2 +1) .

1 Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un appartient à [0 ; 1]. 0,5 pt

2 Étudier les variations de la suite (un). 0,5 pt

3 Montrer que la suite (un) est convergente. 0,5 pt

4 On note l sa limite, et on admet que l vérifie l’égalité f(l) = l.

En déduire la valeur de l. 0,5 pt

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