Exercice

Partie A

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = x – ln(x² + 1).

1 Résoudre dans ℝ l’équation f (x) = x. 0,5 pt

2 Justifier tous les éléments du tableau de variation ci-dessous à l’exception de la limite de la fonction f en + ∞ que l’on admet. 0,5 pt

3 Montrer que, pour tout réel x appartenant à [0 ; 1], f (x) appartient à [0 ; 1]. 0,5 pt

4 On considère l’algorithme suivant :

a. Que fait cet algorithme ? 0,75 pt

b. Déterminer la valeur N fournie par l’algorithme lorsque la valeur saisie pour A est 100. 0,75 pt

Partie B

Soit (u_n) la suite définie par u₀ = 1 et, pour tout entier naturel n :

u n+1 = u n –ln( u n 2 +1).

1 Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n appartient à [0 ; 1]. 0,5 pt

2 Étudier les variations de la suite (u_n). 0,5 pt

3 Montrer que la suite (u_n) est convergente. 0,5 pt

4 On note l sa limite, et on admet que l vérifie l’égalité f(l) = l.

En déduire la valeur de l. 0,5 pt