Exercice

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre

Dans un village imaginaire isolé, une nouvelle maladie contagieuse, mais non mortelle, a fait son apparition.

Rapidement, les scientifiques ont découvert qu’un individu pouvait être dans l’un des trois états suivants :

S « l’individu est sain, c’est-à-dire non malade et non infecté » ;

I « l’individu est porteur sain, c’est-à-dire non malade mais infecté » ;

M « l’individu est malade et infecté ».

Partie A

Les scientifiques estiment qu’un seul individu est à l’origine de la maladie sur les 100 personnes que compte la population et que, d’une semaine à la suivante, un individu change d’état suivant le processus suivant :

• parmi les individus sains, la proportion de ceux qui deviennent porteurs sains est égale à 1 3 et la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à 1 3 ;

• parmi les individus porteurs sains, la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à 1 2.

La situation peut-être représentée par un graphe probabiliste comme ci-dessous.

On note P_n = (s_n i_n m_n ) la matrice ligne donnant l’état probabiliste au bout de n semaines, où s_n, i_n et m_n désignent respectivement la probabilité que l’individu soit sain, porteur sain ou malade la n-ième semaine.

On a alors P₀ = (0,99   0   0,01) et pour tout entier naturel n :

{ s n+1 = 1 3 s n i n+1 = 1 3 s n + 1 2 i n m n+1 = 1 3 s n + 1 2 i n + m n

1 Écrire la matrice A appelée matrice de transition, telle que pour tout entier naturel n :

P_n + 1 = P_n × A.

2 Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul :

P_n = P₀ × Aⁿ.

3 Déterminer l’état probabiliste P₄ au bout de quatre semaines. On pourra arrondir les valeurs à 10^– 2.

Quelle est la probabilité qu’un individu soit sain au bout de quatre semaines ?

Partie B

La maladie n’évolue en réalité pas selon le modèle précédent puisqu’au bout de 4 semaines de recherche, les scientifiques découvrent un vaccin qui permet d’enrayer l’endémie et traitent immédiatement l’ensemble de la population.

L’évolution hebdomadaire de la maladie après vaccination est donnée par la matrice de transition :

B=( 5 12 1 4 1 3 5 12 1 4 1 3 1 6 1 2 1 3 )

On note Q_n la matrice ligne donnant l’état probabiliste au bout de n semaines après la mise en place de ces nouvelles mesures de vaccination. Ainsi, Q_n = (S_n I_n M_n ) où S_n, I_n et M_n désignent respectivement la probabilité que l’individu soit sain, porteur sain et malade la n-ième semaine après la vaccination.

Pour tout entier naturel n, on a alors Q_n + 1 = Q_n × B.

D’après la partie A, Q₀ = P₄. Pour la suite, on prend Q₀ = (0,01   0,10   0,89), où les coefficients ont été arrondis à 10^– 2.

1 Exprimer S_n + 1, I_n + 1 et M_n + 1 en fonction de S_n, I_n et M_n.

2 Déterminer la constante réelle k telle que B² = kJ où J est la matrice carrée d’ordre 3 dont tous les coefficients sont égaux à 1.

On en déduit que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, Bn = B².

3 a. Démontrer que pour entier n supérieur ou égal à 2 :

Q n =( 1 3 1 3 1 3 ).

b. Interpréter ce résultat en terme d’évolution de la maladie.

Peut-on espérer éradiquer la maladie grâce au vaccin ?