Exercice

Les trois parties sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.

Un producteur de légumes souhaite s’implanter dans une commune et livrer directement chez le consommateur des paniers de 5 kg de légumes variés labélisés « bio ».

Partie A

Avant de se lancer, le producteur fait réaliser un sondage auprès de 2 500 foyers de la commune ; 80 foyers se déclarent intéressés par l’achat d’un panier par mois.

Déterminer l’intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion de foyers de la commune susceptibles de passer commande d’un panier mensuel.

Quelle aurait dû être la taille de l’échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude 0,02 ?

La commune compte 15 000 foyers. La condition pour démarrer l’entreprise est de réaliser une recette minimale de 3 500 euros par mois. Sachant que les paniers seront vendus 20 euros l’un, le producteur peut-il envisager de se lancer ? Justifier la réponse.

Partie B

La production mensuelle de légumes permettra de livrer au maximum 1 000 paniers par mois. Le coût total de production est modélisé par la fonction C définie sur l’intervalle [0 ; 10] par :

C( x )=− 1 48 x 4 + 5 16 x 3 +5x+10.

Lorsque x est exprimé en centaines de paniers, C(x) est égal au coût total exprimé en centaines d’euros.

On admet que, pour tout nombre x de l’intervalle [0 ; 10], le coût marginal est donné par la fonction C_m = Cʹ, où Cʹ est la fonction dérivée de C.

1 Calculer C_m(6), le coût marginal pour six cents paniers vendus.

2 On note Cʺ la fonction dérivée seconde de C et on a Cʺ(x) =− 1 4 x 2 + 15 8 x.

a. Déterminer le plus grand intervalle de la forme [0 ; a] inclus dans [0 ; 10] sur lequel la fonction C est convexe.

b. Que peut-on dire du point d’abscisse a de la courbe de la fonction C ? Interpréter cette valeur de a en termes de coût.

Partie C

On admet que l’entreprise produit entre 0 et 1 000 paniers de légumes (par mois) et que tout ce qui est produit est vendu au prix de 20 euros le panier.

La recette mensuelle R exprimée en centaines d’euros, ainsi que la fonction C sont représentées par les courbes C_R et C_C sur le graphique.

Par lecture graphique, répondre aux questions qui suivent.

1 Indiquer le nombre minimal de paniers que le producteur doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice. Donner une valeur approchée à la dizaine.

2 Indiquer le bénéfice réalisé par le producteur s’il produit et vend 500 paniers dans le mois.

Donner une valeur approchée à la centaine d’euros.

3 Le producteur peut-il espérer réaliser un bénéfice de 5 000 euros dans un mois ? Argumenter la réponse.