Exercice

Partie A

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative 𝒞_f d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 18] ainsi que les tangentes au point A d’abscisse 0, au point B d’abscisse 5 et au point D d’abscisse 10.

On sait aussi que la tangente au point A passe par le point E de coordonnées (2 ; 10) et que la tangente au point B est parallèle à l’axe des abscisses.

1 Donner les valeurs de f′ (5) et de f′(0). 0,5 pt

2 On admet que D est un point d’inflexion. Donner une interprétation graphique de ce résultat. 0,5 pt

Partie B

Une entreprise s’apprête à lancer sur le marché français un nouveau jouet destiné aux écoliers. Les ventes espérées ont été modélisées par la fonction f dont la courbe représentative 𝒞_f a été tracée ci-avant.

En abscisses, x représente le nombre de jours écoulés depuis le début de la campagne publicitaire. En ordonnées, f(x) représente le nombre de milliers de jouets vendus le x-ième jour.

Ainsi, par exemple, le 10-ème jour après le début de la campagne publicitaire, l’entreprise prévoit de vendre environ 6 800 jouets.

On admet que la fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; 18] par :

f(x) = 5 x e^– 0,2x.

1 Montrer que f′(x) = (5 - x)e^– 0,2x où f′ désigne la fonction dérivée de f sur l’intervalle [0 ; 18]. 0,5 pt

2 Étudier le signe de f′(x) sur [0 ; 18], puis dresser le tableau de variation de f sur [0 ; 18]. 0,75 pt

3 Déterminer le nombre de jours au bout duquel le maximum de ventes par jour est atteint. Préciser la valeur de ce maximum, arrondie à l’unité. 0,75 pt

Partie C

1 On admet que la fonction F définie sur [0 ; 18] par :

F(x) = (- 25x - 125) e^{- 0,2x}

est une primitive de la fonction f.

a. Calculer la valeur exacte de l’intégrale ∫ 0 10 f( x )dx.
0,75 pt

b. En déduire une estimation du nombre moyen de jouets vendus par jour durant la période des 10 premiers jours. On arrondira le résultat à l’unité. 0,5 pt

2 Un logiciel de calcul formel nous donne les résultats suivants :

Utiliser ces résultats pour déterminer, en justifiant, l’intervalle sur lequel la fonction f est convexe. 0,75 pt