Exercice

Une entreprise produit et vend des composants électroniques.
Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 1 000 et 30 000 pièces.
On suppose que toute la production est commercialisée.
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

On donne ci-après R et C, les représentations graphiques respectives des fonctions recette et coût sur l’intervalle [1 ; 30].

Par lecture graphique, donner une estimation des valeurs demandées.

1 Quel est le coût de production de 21 000 pièces ? 0,5 pt

2 Pour quelles quantités de pièces produites l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice ? 0,5 pt

3 Pour quel nombre de pièces produites le bénéfice est-il maximal ? 0,5 pt

Partie B

Le bénéfice, en milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente de x milliers de pièces, est donné sur l’intervalle [1 ; 30] par :

B(x) = – 0, 5x² + 6x – 20 +2xlnx.

1 Montrer que B′(x) = – x + 8 + 2lnx, où B′ est la dérivée de B sur l’intervalle [1 ; 30]. 0,5 pt

2 On admet que B′′(x) = – 1 + 2 x, où B′′ est la dérivée seconde de B sur l’intervalle [1 ; 30].

Justifier le tableau de variation ci-avant de la fonction dérivée B′ sur l’intervalle [1 ; 30]. 0,75 pt

3 a. Montrer que l’équation B′(x) = 0 admet une unique solution α sur l’intervalle [1 ; 30]. 0,75 pt

b. Donner une valeur approchée au millième de la valeur de α. 0,5 pt

4 En déduire le signe de B′(x) sur l’intervalle [1 ; 30], et donner le tableau de variation de la fonction bénéfice B sur ce même intervalle. 1 pt

5 Quel est le nombre de pièces à produire, à l’unité près, pour que l’entreprise réalise un bénéfice maximal ?

Quel est ce bénéfice maximal (arrondi au millier d’euros) ? 1 pt