Exercice

Une compagnie aérienne propose à partir du premier janvier de l’année 2000 une nouvelle formule d’achat de billets, la formule Avantage qui s’ajoute à la formule Privilège déjà existante.

Une étude a permis de modéliser l’évolution du nombre de passagers transportés depuis l’année 2000 et la compagnie admet que ce modèle est valable sur la période allant de l’année 2000 à l’année 2016.

Le nombre de passagers choisissant la formule Privilège est modélisé par la fonction P définie sur l’intervalle [0 ; 16] et le nombre de passagers choisissant la formule Avantage est modélisé par la fonction A définie sur l’intervalle [0 ; 16]. Le graphique donné ci-dessous représente les courbes représentatives 𝒞_P et 𝒞_A de ces deux fonctions.

Lorsque x représente le temps en année à partir de l’année 2000, P(x) représente le nombre de passagers, exprimé en dizaine de milliers, choisissant la formule Privilège et A(x) représente le nombre de passagers, exprimé en dizaine de milliers, choisissant la formule Avantage.

Partie A

Dans cette partie, les estimations seront obtenues par lecture graphique.

1 Donner une estimation du nombre de passagers qui, au cours de l’année 2002, avaient choisi la formule Privilège. 0,5 pt

2 Donner une estimation de l’écart auquel la compagnie peut s’attendre en 2015 entre le nombre de passagers ayant choisi la formule Avantage et ceux ayant choisi la formule Privilège. 0,5 pt

3 Comment peut-on interpréter les coordonnées du point d’intersection des deux courbes au regard de la situation proposée ? 0,5 pt

4 Justifier que la compagnie aérienne peut, selon ce modèle, estimer que le nombre total de passagers ayant choisi la formule Privilège durant la période entre 2007 et 2015 sera compris entre 240 000 et 320 000. 0,75 pt

Partie B

On admet que la fonction A est définie sur l’intervalle [0 ; 16] par :

A(x) = 2ln (x + 1)

et que la fonction P est définie sur l’intervalle [0 ; 16] par :

P(x) = 3 + 3e^– 0,2x.

On s’intéresse à la différence en fonction du temps qu’il y a entre le nombre de passagers ayant choisi la formule Avantage et ceux ayant choisi la formule Privilège. Pour cela, on considère la fonction E définie sur l’intervalle [0 ; 16] par :

E(x) = A(x) - P(x).

1 On note E′ la fonction dérivée de E sur l’intervalle [0 ; 16].

a. On admet que E ′ ( x )= 2 x+1 +0,6 e −0,2x .

Justifier que E′ est strictement positive sur l’intervalle [0 ; 16]. 0,5 pt

b. Dresser le tableau de variation de la fonction E sur l’intervalle [0 ; 16]. 0,5 pt

2 a. Montrer que l’équation E(x) = 0 admet une unique solution, notée α, sur l’intervalle [0 ; 16]. Donner la valeur de α en arrondissant au dixième. 0,75 pt

b. Dresser le tableau de signes de la fonction E sur l’intervalle [0 ; 16]. Interpréter les résultats obtenus au regard des deux formules proposées par la compagnie aérienne. 1 pt