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Centres étrangers
Juin
2016
Bac
Spécifique
Tle ES
Mathématiques
Limite de suite
Suites
.icon_annales.png Un site Internet propose à ses abonnés des films à télécharger.

Sujet 4Limite de suite45 min

Centres étrangers, juin 2016

ES – Enseignement spécifique
L – Enseignement de spécialité

Suites

Exercice

5 pts

Un site Internet propose à ses abonnés des films à télécharger.

Lors de son ouverture, 500 films sont proposés et chaque mois, le nombre de films proposés aux abonnés augmente de 6 %.

Partie A

On modélise le nombre de films proposés par une suite géométrique (un), où n désigne le nombre de mois depuis l’ouverture du site. On a donc u0 = 500.

1 Calculer u1 et u2 et donner le résultat arrondi à l’unité. 0,5 pt

2 Exprimer un en fonction de n. 0,5 pt

3 Déterminer la limite de la suite (un). 0,5 pt

Partie B

Dans cette partie, on souhaite déterminer à partir de combien de mois le site aura doublé le nombre de films proposés par rapport au nombre de films proposés à l’ouverture.

1  On veut déterminer cette valeur à l’aide d’un algorithme.

Recopier et compléter les lignes L3, L5 et L7 pour que l’algorithme donne le résultat attendu.

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L7

Initialisation :

 

Traitement :

 

 

 

Sortie :

Affecter à U la valeur 500

Affecter à N la valeur 0

Tant que U…

Affecter à N la valeur N + 1

Affecter à U la valeur…

Fin tant que

Afficher…

0,75 pt

2 On veut maintenant utiliser une méthode algébrique. Calculer le nombre de mois recherché. 0,5 pt

Partie C

En raison d’une offre de bienvenue, le nombre d’abonnés au lancement est 15 000. Sur la base des premiers mois, on estime que le nombre des clients abonnés au site évolue suivant la règle suivante : chaque mois, 10 % des clients se désabonnent et 2 500 nouveaux abonnés sont enregistrés.

On note vn l’estimation du nombre d’abonnés n mois après l’ouverture, on a ainsi v0 = 15 000.

1 Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :

vn + 1 = 0,9 × vn + 2 500. 0,5 pt

2 On considère la suite (wn) définie pour tout entier naturel n par :

wn = vn - 25 000. 0,5 pt

a. Montrer que la suite (wn) est géométrique de raison 0,9 et préciser son premier terme.

b. En déduire que, pour tout entier n :

vn = 25 000 - 10 000 × 0,9n. 0,5 pt

c. Peut-on prévoir, à l’aide de ce modèle, une stabilisation du nombre d’abonnés sur le long terme ? Justifier la réponse. 0,75 pt

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