Exercice

Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d’établir que la probabilité qu’un moteur tombe en panne pendant la première année d’utilisation est égale à 0,12.

Tous les résultats seront arrondis à 10^– 3.

Partie A

Une entreprise achète 20 moteurs électriques dans ce magasin.

On admet que le nombre de moteurs vendus dans ce magasin est suffisamment important pour que l’achat de 20 moteurs soit assimilé à 20 tirages indépendants avec remise.

1 Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la première année d’utilisation ?

2 Quelle est la probabilité qu’au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d’utilisation ?

Partie B

On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire Y qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un réel strictement positif.

On rappelle que pour tout réel positif t, p(Y≤t)= ∫ 0 t λ e –λx dx.

Dans les questions 1, 2, 3 les résultats seront arrondis à 10^– 3.

1 Exprimer p(Y ≤ 1) en fonction de λ. En déduire la valeur de λ.

Pour la suite de l’exercice, on prendra λ = 0,128.

2 Quelle est la probabilité qu’un moteur dure plus de 3 ans ?

3 Quelle est la probabilité qu’un moteur dure plus de 4 ans sachant qu’il a duré plus d’un an ?

4 On admet que la durée de vie moyenne d_m de ces moteurs est égale à lim t→+∞ F(t), où F est la fonction définie sur l’intervalle [0 ; + ∞[ par :

F(t)= ∫ 0 t λ x e –λx dx.

a. Montrer qu’il existe deux réels a et b tels que la fonction g définie sur ℝ par :

g(x) = (ax + b)e^– λx

soit une primitive sur ℝ de :

x ↦ λ xe^– λx.

Calculer F(t) en fonction de t.

b. En déduire la valeur de d_m.

Donner un encadrement de d_m d’amplitude 1 mois.