Exercice

La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.

Partie A

On considère une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre λ avec λ > 0.

On rappelle que, pour tout réel a strictement positif :

P(X≤a)= ∫ 0 a λ e –λt dt.

On se propose de calculer l’espérance mathématique de X, notée E(X), et définie par :

E(X)= lim x→+∞ ∫ 0 x λt e –λt dt.

On note ℝ l’ensemble des nombres réels.

On admet que la fonction F définie sur ℝ par F(t)=–( t+ 1 λ ) e –λt est une primitive sur ℝ de la fonction f définie sur ℝ par f(t) = λte^– λt.

1 Soit x un nombre réel strictement positif. Vérifier que :

∫ 0 x λt e –λt dt= 1 λ (–λx e –λx – e –λx +1). 0,5 pt

2 E(X)= 1 λ. 0,5 pt

Partie B

La durée de vie, exprimée en années, d’un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire notée X suivant la loi exponentielle de paramètre λ avec λ > 0.

La courbe de la fonction densité associée est représentée ci-après.

1 Sur le graphique ci-dessus :

a. Représenter la probabilité P(X ≤ 1). 0,5 pt

b. Indiquer où se lit directement la valeur de λ. 0,5 pt

2 On suppose que E(X) = 2.

a. Que représente, dans le cadre de l’exercice, la valeur de l’espérance mathématique de la variable aléatoire X ? 0,5 pt

b. Calculer la valeur de λ. 0,5 pt

c. Calculer P(X ≤ 2). On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 0,01 près. Interpréter ce résultat. 0,5 pt

d. Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit d’au moins trois années ? On donnera la valeur exacte. 0,5 pt

Partie C

Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2.

On note D₁ l’événement « le composant 1 est défaillant avant un an » et on note D₂ l’événement « le composant 2 est défaillant avant un an ».

On suppose que les deux événements D₁ et D₂ sont indépendants et que :

P(D₁) = P(D₂) = 0,39.

Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous :

1 Lorsque les deux composants sont montés « en parallèle », le circuit A est défaillant uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité que le circuit A soit défaillant avant un an.

0,5 pt

2 Lorsque les deux composants sont montés « en série », le circuit B est défaillant dès que l’un au moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an.

0,5 pt