Exercice

Les résultats des probabilités seront arrondis à 10^–3 près.

PARTIE A

1 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un réel strictement positif donné.

On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

f(x) = λe^–λx.

a. Soit c et d deux réels tels que 0 ≤ c < d.

Démontrer que la probabilité P(c ≤ X ≤ d) vérifie :

P(c ≤ X ≤ d) = e^–λc – e^–λd. 0,5 pt

b. Déterminer une valeur de λ à 10^–3 près, de telle sorte que la probabilité P(X  > 20) soit égale à 0,05. 0,5 pt

c. Donner l’espérance de la variable aléatoire X. 0,5 pt

Dans la suite de l’exercice on prend λ = 0,15.

d. Calculer P(10 ≤ X ≤ 20). 0,5 pt

e. Calculer la probabilité de l’événement (X > 18). 0,5 pt

2 Soit Y une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 16 et d’écart-type 1,95.

a. Calculer la probabilité de l’événement (20 ≤ Y ≤ 21). 0,5 pt

b. Calculer la probabilité de l’événement (Y < 11) ∪ (Y > 21). 0,5 pt

PARTIE B

Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d’achat à ses clients privilégiés. Chacun d’eux reçoit un bon d’achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.

Les bons d’achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.

Les bons d’achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.

De façon analogue, les bons d’achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,015 et 0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.

1 Calculer la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu’il est rouge. 0,75 pt

2 Montrer qu’une valeur approchée à 10^–3 près de la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut 0,057. 0,75 pt

Pour la question suivante, on utilise cette valeur.

3 Dans un des magasins de cette chaîne, sur 200 clients privilégiés, 6 ont reçu un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 €.

Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d’achats dans les différents magasins de la chaîne.

Ses doutes sont-ils justifiés ? 1 pt