Exercice

On s’intéresse à une espèce de poissons présente dans deux zones différentes (zone 1 et zone 2) de la planète.

Partie A Étude de la zone 1

On note X la variable aléatoire qui, à chaque poisson observé dans la zone 1, associe sa taille en cm.

Une étude statistique sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne µ et d’écart type σ = 30. La courbe de la densité de probabilité associée à X est représentée ci-dessous.

1 Par lecture graphique, donner la valeur de µ.

2 On pêche un de ces poissons dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à 10^– 2, d’avoir un poisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm.

3 Un poisson de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand il mesure plus de 120 cm.

On pêche un poisson de l’espèce considérée dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à 10^– 2, de pêcher un poisson adulte.

4 On considère un nombre k strictement plus grand que la valeur moyenne µ. Est-il vrai que P( X<k )<0,5 ? Justifier.

Partie B Étude de la zone 2

1 Certains poissons de la zone 2 sont atteints d’une maladie. On prélève de façon aléatoire un échantillon de 50 poissons de cette espèce dans la zone 2 et on constate que 15 poissons sont malades.

a. Calculer la fréquence f de poissons malades dans l’échantillon.

b. Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de 95 %, de la proportion p de poissons malades dans toute la zone 2. On arrondira les bornes au millième.

2 Soit Y la variable aléatoire qui, à chaque poisson de l’espèce considérée de la zone 2, associe sa taille en cm. On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne µʹ = 205 et d’écart type σʹ = 40.

En comparant avec le graphique de la zone 1 donné à la question 1. qui représente une loi normale d’écart type σ = 30, dire laquelle des trois courbes ci-dessous représente la densité de probabilité de la variable aléatoire Y. Justifier la réponse.