Exercice

On considère la matrice A=( –46 –35 ).

1 On appelle I la matrice identité d’ordre 2.

Vérifier que A² = A + 2I. 0,5 pt

2 En déduire une expression de A³ et une expression de A⁴ sous la forme αA + βI, où α et β sont des réels. 0,75 pt

3 On considère les suites (r_n) et (s_n) définies par r₀ = 0 et s₀ = 1 et, pour tout entier naturel n :

{ r n+1 = r n + s n s n+1 =2 r n

Démontrer que, pour tout entier naturel n, An = r_nA + s_nI. 0,75 pt

4 Démontrer que la suite (k_n) définie pour tout entier naturel n par :

k_n = r_n – s_n

est géométrique de raison –1. En déduire, pour tout entier naturel n, une expression explicite de k_n en fonction de n. 0,75 pt

5 On admet que la suite (t_n) définie pour tout entier naturel n par :

t n = r n + (–1) n 3

est géométrique de raison 2. En déduire, pour tout entier naturel n, une expression explicite de t_n en fonction de n. 0,75 pt

6 Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel n, une expression explicite de r_n et s_n en fonction de n. 0,75 pt

7 En déduire alors, pour tout entier naturel n, une expression des coefficients de la matrice Aⁿ. 0,75 pt