Polynésie
Juin
2015
Bac
Spécialité
Tle ES
Mathématiques
Matrices, graphe - dépenses et probabilités
Graphes
Matrices
.icon_annales.png Un constructeur de planches de surf fabrique 3 modèles.

Sujet 6Matrice, graphe – Dépenses et probabilités45 min

Polynésie, juin 2015

ES – Enseignement de spécialité

Graphes et matrices

Exercice

5 pts

Les parties A et B sont indépendantes.

 

Partie A

Un constructeur de planches de surf fabrique 3 modèles. La conception de chaque modèle nécessite le passage par 3 postes de travail. Le tableau 1 indique le nombre d’heures nécessaires par modèle et par poste pour réaliser les planches et le tableau 2 indique le coût horaire par poste de travail.

img1

1 Soit H et C les deux matrices suivantes :

H=( 8 10 14 6 6 10 12 10 18 )   et   C=( 25 20 15 ).

a. Donner la matrice produit P = H × C. 0,5 pt

b. Que représentent les coefficients de la matrice P = H × C ? 0,75 pt

2 Après une étude de marché, le fabricant souhaite que les prix de revient par modèle soient les suivants :

Modèle 1 : 500 € ;          Modèle 2 : 350 € ;          Modèle 3 : 650 €.

Il cherche à déterminer les nouveaux coûts horaires par poste, notés a, b et c, permettant d’obtenir ces prix de revient.

a. Montrer que les réels a, b et c doivent être solutions du système :

H×( a b c )=( 500 350 650 ).
0,5 pt

b. Déterminer les réels a, b et c. 0,5 pt

 

Partie B

La façade du magasin dans lequel sont commercialisées les planches est illuminée par un très grand nombre de spots qui sont programmés de la manière suivante :

• les spots s’allument tous à 22 heures ;

• toutes les 10 secondes à partir de 22 heures, et ce de manière aléatoire, 30 % des spots allumés s’éteignent et 50 % de ceux qui sont éteints se rallument.

1 On note A l’état « le spot est allumé » et E l’état « le spot est éteint ».

a. Dessiner un graphe probabiliste traduisant la situation. 0,5 pt

b. Recopier et compléter la matrice de transition (dans l’ordre A, E) associée au graphe :

M=( 0,3 0,5 ).
0,5 pt

2 On note n le nombre d’étapes (c’est-à-dire d’intervalles de temps de 10 secondes) qui s’écoulent à partir de 22 heures et Pn = (an   bn) l’état d’un spot à l’étape n, où an est la probabilité qu’il soit allumé et bn la probabilité qu’il soit éteint.

On a alors, pour tout entier naturel n :

Pn + 1 = Pn × M.

0,75 pt

a. Justifier que a0 = 1 et b0 = 0. Écrire une relation entre P0 et Pn. 0,5 pt

b. Déterminer les coefficients de la matrice P3. Quelle est la probabilité que le spot considéré soit éteint à 22 heures et 30 secondes ?

3 Déterminer l’état stable (a   b) du graphe probabiliste. 0,5 pt

Voir le corrigé

Cet article est réservé aux abonnés
ou aux acheteurs de livres ABC du Bac

Pour approfondir le thème...

Tle ES
Mathématiques
Graphes, Matrices
Spécialité
Amérique du Nord
Juin
2015
Bac
.icon_annales.png
Un créateur d'entreprises a lancé un réseau d'agences de services à domicile.
fonction | variable | matrice | graphique | coefficients | équations
Tle ES
Mathématiques
Graphes, Matrices, Probabilités
Spécialité
Antilles-Guyane
Juin
2015
Bac
.icon_annales.png
Une municipalité vient de mettre en place le service "vélo en liberté".
probabilité | graphe probaliste | matrice de transition | état probabiliste | matrice
Tle ES
Mathématiques
Graphes, Matrices
Spécialité
Centres étrangers
Juin
2015
Bac
.icon_annales.png
On a schématisé une partie du plan du métro londonien par un graphe dont les sommets sont les stations et les arêtes sont les lignes desservant ces stations.
graphe | matrice | | algorithme de Dijkstra | durée
Tle ES
Mathématiques
Algorithmique, Graphes, Matrices, Suites
Spécifique
Liban
Mai
2015
Bac
.icon_annales.png
Dans un pays, seulement deux opérateurs de téléphonie mobile SAFIR et TECIM proposent la 4G (standard de transmission de données).
graphe probabiliste | probabilité | matrice | algorithme | suite | inéquation
Tle ES
Mathématiques
Graphes, Matrices
Spécialité
Inde
Avril
2015
Bac
.icon_annales.png
Les sites internet A, B, C ont des liens entre eux.
probabilité | graphe probabiliste | matrice | état stable | interprétation