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Mai
2016
Tle S
Mathématiques
Nombres complexes et géométrie dans le plan
Géométrie dans le plan
Nombres complexes
Sur la figure, le point M a été placé pour une certaine valeur du réel x.

Sujet 9Nombres complexes et géométrie dans le plan

Concours Geipi-Polytech, mai 2016

Concours

Nombres complexes

Géométrie dans le plan

Exercice

img1

L’usage de la calculatrice est autorisé.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O; u , v ) .

Soient A, B et C les points d’affixes respectives :

zA = 1, zB = 1 + i et zC = i.

Soit x un réel appartenant à ]0, 1[.

On nomme :

 M le point du segment [AB] d’affixe zM = 1 + xi :

 N le point du segment [BC] d’affixe zNx + i.

Posons Z= z N z M .

Partie A

1 Sur la figure, le point M a été placé pour une certaine valeur du réel x.

Tracer le carré OABC et le triangle OMN.

img2

2 Exprimer, en fonction de x, les modules |zM| et |zN|.

3 Le triangle OMN est isocèle. Donner son sommet principal. Justifier la réponse.

4a. Montrer que la droite (OB) est perpendiculaire à la droite (MN).

b. En déduire que la droite (OB) est la bissectrice de l’angle MON ^ .

5 Justifier que |Z| = 1.

6 Montrer que la forme algébrique de Z est :

Z= 2x 1+ x 2 +i 1 x 2 1+ x 2 .

7 Im(Z) désigne la partie imaginaire de Z. Montrer que Im(Z) > 0.

Partie B

Dans cette partie x=2 3 .

1 Donner la valeur exacte de 1 + x2.

2a. Re(Z) désigne la partie réelle de Z. Montrer que Re(Z)= 1 2 .

b. On nomme θ un argument de Z.

En déduire, en utilisant certains résultats de la partie A, la valeur exacte de θ.

On admet que ( OM , ON )=θ(2π) .

3a. En utilisant la question 4b., donner une mesure de l’angle ( OM , OB ) .

b. Montrer que ( u , OM )= π 12 (2π) .

4a. Justifier que 1+ x 2 = ( 6 2 ) 2 .

b. En déduire la valeur exacte de |zM|.

5 Écrire la forme trigonométrique de zM.

6 On en déduit que cos( π 12 )= a 6 2 et sin( π 12 )= b 6 2 , où a et b sont des réels.

Donner les valeurs exactes de a et b.

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