Exercice

ABCDEFGH désigne un cube de côté 1.

Le point I est le milieu du segment [BF].

Le point J est le milieu du segment [BC].

Le point K est le milieu du segment [CD].

Partie A

Dans cette partie, on ne demande aucune justification.

On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L.

Construire, sur la figure ci-dessus et en laissant apparents les traits de construction :

● le point L ;

● l’intersection 𝒟 des plans (IJK) et (CDH) ;

● la section du cube par le plan (IJK).

Partie B

L’espace est rapporté au repère ( A; AB → , AD → , AE → ).

1 Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère. 0,5 pt

2 a. Montrer que le vecteur AG → est normal au plan (IJK). 0,75 pt

b. En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).

3 On désigne par M un point du segment [AG] et t le réel de l’intervalle [0 ; 1] tel que AM → =t AG →.

a. Démontrer que MI 2 =3 t 2 –3t+ 5 4. 0,75 pt

b. Démontrer que la distance MI est minimale pour le point :

M( 1 2 ; 1 2 ; 1 2 ). 0,75 pt

4 Démontrer que pour ce point M( 1 2 ; 1 2 ; 1 2 ) :

a. M appartient au plan (IJK). 0,75 pt

b. La droite (IM) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF). 0,75 pt