Exercice

ABCDEFGH est un cube d’arête égale à 1.

L’espace est muni du repère orthonormé (D; DC → , DA → , DH → ) .

Dans ce repère, on a :

D(0 ; 0 ; 0), C(1 ; 0 ; 0), A(0 ; 1 ; 0), H(0 ; 0 ; 1) et E(0 ; 1 ; 1).

Soit I le milieu de [AB].

Soit 𝒫 le plan parallèle au plan (BGE) et passant par le point I.

On admet que la section du cube par le plan 𝒫 représentée ci-avant est un hexagone dont les sommets I, J, K, L, M et N appartiennent respectivement aux arêtes [AB], [BC], [CG], [GH], [HE] et [AE].

1 a. Montrer que le vecteur DF → est normal au plan (BGE).          0,75 pt

b. En déduire une équation cartésienne du plan 𝒫.          0,75 pt

2 Montrer que le point N est le milieu du segment [AE].          0,75 pt

3 a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (HB).          0,75 pt

b. En déduire que la droite (HB) et le plan 𝒫 sont sécants en un point T dont on précisera les coordonnées.          1 pt

4 Calculer, en unités de volume, le volume du tétraèdre FBGE.         1 pt