Liban
Mai
2015
Bac
Spécialité
Tle L
Mathématiques
Suite, algorithme - Évolution d'un volume d'eau
Algorithmique
Suites
.icon_annales.png Une retenue d'eau artificielle contient 100 000 m3 d'eau le 1er juillet 2013 au matin.

Sujet 5Suite, algorithme – Évolution d’un volume d’eau45 min

Liban, mai 2015

ES – Enseignement spécifique
L – Enseignement de spécialité

Suites

Algorithmique

Exercice

5 pts

Une retenue d’eau artificielle contient 100 000 m3 d’eau le 1er juillet 2013 au matin. La chaleur provoque dans la retenue une évaporation de 4 % du volume total de l’eau par jour. De plus, chaque soir, on doit libérer de la retenue 500 m3 pour l’irrigation des cultures aux alentours.

Cette situation peut être modélisée par une suite (Vn).

Le premier juillet 2013 au matin, le volume d’eau en m3 est V0 = 100 000.

Pour tout entier naturel n supérieur à 0, Vn désigne le volume d’eau en m3 au matin du n-ième jour qui suit le 1er juillet 2013.

1 a. Justifier que le volume d’eau V1 au matin du 2 juillet 2013 est égal à 95 500 m30,5 pt

b. Déterminer le volume d’eau V2 au matin du 3 juillet 2013. 0,5 pt

c. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a Vn + 1 = 0,96 Vn – 500.
0,5 pt

2 Pour déterminer à quelle date la retenue ne contiendra plus d’eau, on a commencé par élaborer l’algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu’il donne le résultat attendu.

L1

Variables :

V est un nombre réel

L2

N est un entier naturel

L3

Traitement :

Affecter à V la valeur 100 000

L4

Affecter à N la valeur 0

L5

Tant que V > 0

L6

     Affecter à V la valeur………

L7

     Affecter à N la valeur………

L8

Fin Tant que

L9

Sortie :

Afficher………

0,75 pt

3 On considère la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par :

Un = Vn + 12 500.

a. Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique de raison 0,96. Préciser son premier terme. 0,75 pt

b. Exprimer Un en fonction de n : 0,5 pt

c. En déduire que, pour tout entier naturel n,

Vn = 112 500 × 0,96n − 12 500.
0,5 pt

4 a. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation :

112 500 × 0,96n − 12 500 ≤ 0.
0,5 pt

b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé. 0,5 pt

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