Exercice

Depuis le 1^er janvier 2015, une commune dispose de vélos en libre-service. La société Bicycl’Aime est chargée de l’exploitation et de l’entretien du parc de vélos. La commune disposait de 200 vélos au 1^er janvier 2015.

La société estime que, chaque année, 15 % des vélos sont retirés de la circulation à cause de dégradations et que 42 nouveaux vélos sont mis en service.

On modélise cette situation par une suite (u_n), où u_n représente le nombre de vélos de cette commune au 1^er janvier de l’année 2015 + n.

1 Déterminer le nombre de vélos au 1^er janvier 2016. 0,5 pt

2 Justifier que la suite (u_n) est définie par u₀ = 200 et, pour tout entier naturel n, par u_{n + 1} = 0,85u_n + 42.
0,5 pt

3 On donne l’algorithme suivant :

a. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l’unité. Quel nombre obtient-on à l’arrêt de l’algorithme ?

0,5 pt

b. Interpréter la valeur du nombre U obtenue à l’issue de l’exécution de cet algorithme. 0,5 pt

4 On considère la suite (v_n) définie pour tout entier naturel n par :

v_n = u_n - 280.

a. Montrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 0,85 et de premier terme v₀ = – 80.
0,5 pt

b. Pour tout entier naturel n, exprimer v_n en fonction de n. 0,5 pt

c. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a :

u_n = – 80 × 0,85ⁿ + 280.
0,5 pt

d. Calculer la limite de la suite (u_n) et interpréter ce résultat. 0,5 pt

5 La société Bicycl’Aime facture chaque année à la commune 300 € par vélo en circulation au 1^er janvier.

Déterminer le coût total pour la période du 1^er janvier 2015 au 31 décembre 2019, chacun des termes utilisés de la suite (u_n) étant exprimé avec un nombre entier. 0,5 pt