Nouvelle-Calédonie
Novembre
2013
Bac
Spécifique
Tle ES
Mathématiques
Suite géométrique, algorithme, intérêt composé
Algorithmique
Suites
.icon_annales.png Le 1er janvier 2014, Monica ouvre un livret d'épargne sur lequel elle dépose 6000 euros.

12Suite géométrique, Algorithme, Intérêt composé45 min

Nouvelle-Calédonie, novembre 2013

ES – Enseignement spécifique
L – Enseignement de spécialité

Suites

Algorithmique

Exercice

5 pts

Le premier janvier 2014, Monica ouvre un livret d’épargne sur lequel elle dépose 6 000 euros. Elle décide de verser 900 euros sur ce livret chaque premier janvier à partir de 2015 jusqu’à atteindre le plafond autorisé de 19 125 euros. On suppose dans tout cet exercice que le taux de rémunération du livret reste fixé à 2,25 % par an et que les intérêts sont versés sur le livret le premier janvier de chaque année.

 

Partie A

1 Calculer le montant des intérêts pour l’année 2014 et montrer que Monica disposera d’un montant de 7 035 euros sur son livret le premier janvier 2015.

2 On note Mn le montant en euros disponible sur le livret le premier janvier de l’année 2014 + n. On a donc M0 = 6 000 et Ml = 7 035.

Montrer que, pour tout entier naturel n, M+ l = 1,0225 Mn + 900.

 

Partie B

Monica souhaite savoir en quelle année le montant de son livret atteindra le plafond de 19 125 euros.

1 Première méthode

On considère la suite (Gn) définie pour tout entier naturel n, par Gn = Mn + 40 000.

a. Montrer que la suite (Gn) est une suite géométrique de raison 1,0225. On précisera le premier terme.

b. Donner l’expression de Gn en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, Mn = 46 000 × 1,0225n – 40 000.

c. Déduire de l’expression de Mn obtenue en b. l’année à partir de laquelle le plafond de 19 125 euros sera atteint.

2 Deuxième méthode

L’algorithme ci-dessous permet de déterminer l’année à partir de laquelle le plafond sera atteint.

Ligne

1

 Variables :

MONTANT est un réel

2

ANNÉE est un entier

3

4

 Initialisation :

Affecter à MONTANT la valeur 6 000

5

Affecter à ANNÉE la valeur 2014

6

7

 Traitement :

Tant que MONTANT < 19 125

8

      Affecter à MONTANT la valeur

9

                       1,0225 × MONTANT + 900

10

      Affecter à ANNÉE la valeur ANNÉE + 1

11

 Sortie :

Afficher « Le plafond du livret sera atteint

12

en… »

Afficher ANNÉE

a. Il suffit de modifier deux lignes de cet algorithme pour qu’il détermine l’année à partir de laquelle le plafond est atteint pour un montant versé initialement de 5 000 euros et des versements annuels de 1 000 euros.

Indiquer sur votre copie les numéros des lignes et les modifications proposées.

b. Proposer une modification de la boucle conditionnelle pour que l’algorithme affiche également à l’écran le montant disponible au premier janvier de chaque année.

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