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Amérique du Nord
Juin
2016
Bac
Spécialité
Tle S
Mathématiques
Variable aléatoire
Matrices
Probabilités
Suites
.icon_annales.png On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules.

Sujet 2Variable aléatoire1 heure

Amérique du Nord, juin 2016

Enseignement de spécialité

Probabilités

Matrices

Suites

Exercice

5 pts

On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l’urne U contient deux boules blanches et l’urne V contient deux boules noires.

On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l’autre urne.

Pour tout entier naturel n non nul, on note Xn la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l’urne U à la fin du n-ième tirage.

1a. Traduire par une phrase la probabilité P ( X n =0) ( X n+1 =1) , puis déterminer les probabilités conditionnelles suivantes :

P ( X n =0) ( X n+1 =1), P ( X n =1) ( X n+1 =1)et P ( X n =2) ( X n+1 =1). 0,75 pt

b. Exprimer P(Xn+1 = 1) en fonction P(Xn = 0), P(Xn = 1) et P(Xn = 2). 0,75 pt

2 Pour tout entier naturel n non nul, on note Rn la matrice ligne définie par :

Rn = (P(Xn = 0)  P(Xn = 1)  P(Xn = 2))

et on considère la matrice M ( 0 1 0 1 4 1 2 1 4 0 1 0 ) .

On note R0 la matrice ligne (0 0 1).

On admettra par la suite que, pour tout entier naturel n :

Rn+1Rn × M.

Déterminer R1 et justifier que, pour tout entier naturel n :

RnR0 × Mn. 0,75 pt

3 On admet que MP × D × P–1 avec :

P= 1 6 ( 2 3 1 1 0 1 2 3 1 ),D=( 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 )et P 1 =( 1 2 1 1 0 1 1 4 1 ).

Établir que, pour tout entier naturel n, MnP × Dn × P– 1.

On admettra que, pour tout entier naturel n, D n =( ( 1 2 ) n 0 0 0 0 0 0 0 1 ) . 0,75 pt

4a. Calculer Dn × P–1 en fonction de n. 0,5 pt

b. Sachant que R 0 P=( 1 3 1 2 1 6 ) , déterminer les coefficients de Rn en fonction de n. 0,75 pt

5 Déterminer lim n+ P( X n =0) , lim n+ P( X n =1) et lim n+ P( X n =2) .

Interpréter ces résultats. 0,75 pt

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