Exercice

Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-dessous) situé à l’extérieur du segment [AB].

La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB), sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure.

Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l’angle ATB ^ le plus grand possible.

Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle l’angle ATB ^ est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.

Dans toute la suite, on note x la longueur ET, qu’on cherche à déterminer.

Les dimensions du terrain sont les suivantes :

EM = 50 m, EA = 25 m et AB = 5,6 m.

On note α la mesure en radian de l’angle ETA ^, β la mesure en radian de l’angle ETB ^ et γ la mesure en radian de l’angle ATB ^.

1 En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB, ainsi que les longueurs fournies, exprimer tan α et tan β en fonction de x.

La fonction tangente est définie sur l’intervalle ] 0; π 2 [ par :

tanx= sinx cosx. 1 pt

2 Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l’intervalle ] 0; π 2 [. 1 pt

3 L’angle ATB ^ admet une mesure γ appartenant à l’intervalle ] 0; π 2 [, résultat admis ici, que l’on peut observer sur la figure.

On admet que, pour tous réels a et b de l’intervalle ] 0; π 2 [ :

tan(a–b)= tana–tanb 1+tana×tanb.

Montrer que tanγ= 5,6x x 2 +765 . 1 pt

4 L’angle ATB ^ est maximum lorsque sa mesure γ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l’intervalle ]0 ; 50] de la fonction f définie par :

f(x)=x+ 765 x.

Montrer qu’il existe une unique valeur de x pour laquelle l’angle ATB ^ est maximum et déterminer cette valeur de x au mètre près, ainsi qu’une mesure de l’angle ATB ^ à 0,01 radian près. 2 pts

Remarque : sur un terrain, un joueur de rugby ne se soucie pas d’une telle précision.