Exercice

Dans l’espace, on considère une pyramide SABCE à base carrée ABCE de centre O. Soit D le point de l’espace tel que (O; OA → ; OB → ; OD → ) soit un repère orthonormé. Le point S a pour coordonnées (0 ; 0 ; 3) dans ce repère.

Partie A

1 Soit U le point de la droite (SB) de cote 1. Construire le point U sur la figure ci-dessus. 0,5 pt

2 Soit V le point d’intersection du plan (AEU) et de la droite (SC). Montrer que les droites (UV) et (BC) sont parallèles. Construire le point V sur la figure ci-dessus. 0,75 pt

3 Soit K le point de coordonnées ( 5 6 ;– 1 6 ;0 ).

Montrer que K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUVE. 0,75 pt

Partie B

Dans cette partie, on admet que l’aire du quadrilatère AUVE est 5 43 18.

1 On admet que le point U a pour coordonnées ( 0; 2 3 ;1 ).

Vérifier que le plan (EAU) a pour équation 3x – 3y + 5z – 3 = 0. 0,5 pt

2 Donner une représentation paramétrique de la droite (d) orthogonale au plan (EAU) passant par le point S. 1 pt

3 Déterminer les coordonnées de H, point d’intersection de la droite (d ) et du plan (EAU). 0,5 pt

4 Le plan (EAU) partage la pyramide (SABCE) en deux solides. Ces deux solides ont-ils le même volume ? 1 pt