Exercice

Partie A

Soit f la fonction définie sur ℝ par :

f(x)= 3 1+ e –2x.

Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal (O; i → , j → ), la courbe représentative 𝒞 de la fonction f et la droite Δ d’équation y = 3.

1 Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur ℝ. 0,5 pt

2 Justifier que la droite Δ est asymptote à la courbe 𝒞. 0,5 pt

3 Démontrer que l’équation f (x) = 2,999 admet une unique solution α sur ℝ.

Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10^– 2. 0,5 pt

Partie B

Soit h la fonction définie sur ℝ par h(x) = 3 – f (x).

1 Justifier que la fonction h est positive sur ℝ. 0,5 pt

2 On désigne par H la fonction définie sur ℝ par H(x)=– 3 2 ln(1+ e –2x ).

Démontrer que H est une primitive de h sur ℝ. 0,5 pt

3 Soit a un réel strictement positif.

a. Donner une interprétation graphique de l’intégrale ∫ 0 a h(x)dx. 0,5 pt

b. Démontrer que ∫ 0 a h(x)dx = 3 2 ln( 2 1+ e –2a ). 0,5 pt

c. On note 𝒟 l’ensemble des points M(x ; y) du plan défini par :

{ x≥0 f(x)≤y≤3

Déterminer l’aire, en unité d’aire, du domaine 𝒟. 0,5 pt