Exercice

On considère une fonction P définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 60].

On donne, ci-dessous, la courbe représentative 𝓒 de la fonction P.

Partie A

À partir d’une lecture graphique, répondre aux questions qui suivent :

1 En argumentant la réponse, donner le signe de P′(54), où P′ est la fonction dérivée de P.

2 Donner un intervalle sur lequel la fonction P est convexe.

3 Donner, à l’unité près, les solutions de l’équation P(x) = 10.

4 On note A le nombre ∫ 0 10 P( x )dx ; choisir l’encadrement qui convient pour A :

a. 0 < A < 60 ; b. 60 < A < 70 ; c. 6 < A < 7 ; d. 10 < A < 11.

Partie B

La fonction P est définie sur l’intervalle [0 ; 60] par :

P( x )=6+( 60−x ) e 0,1x−5.

À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants :

1 a. Étudier le signe de P′(x) sur l’intervalle [0 ; 60], où P′ est la fonction dérivée de P.

b. En déduire les variations de la fonction P sur l’intervalle [0 ; 60] et vérifier que la fonction P admet, sur cet intervalle, un maximum valant 16.

2 Montrer que l’équation P(x) = 10 a une solution unique x₀ sur l’intervalle [0 ; 40]. Donner une valeur approchée de x₀ à 0,1 près.

3 En exploitant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, étudier la convexité de la fonction P.