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Mathématiques
Nombre complexe, algorithme
Algorithmique
Géométrie dans le plan
Nombres complexes
.icon_annales.png On veut modéliser dans le plan la coquille d'un nautile à l'aide d'une ligne brisée en forme de spirale.

Sujet 4Nombre complexe, algorithme1 h

Centres étrangers, juin 2016

Enseignement spécifique

Nombres complexes

Géométrie dans le plan

Algorithmique

Exercice

5 pts

On veut modéliser dans le plan la coquille d’un nautile (photo ci-dessous) à l’aide d’une ligne brisée en forme de spirale. On s’intéresse à l’aire délimitée par cette ligne.

img1

© Eugène Sim/Fotolia.com

On munit le plan d’un repère orthonormé direct (O; u , v ) .

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Pour tout entier k allant de 0 à n, on définit les nombres complexes :

z k =( 1+ k n ) e i 2kπ n

et on note Mk le point d’affixe zk.

Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne brisée reliant tous les points Mk avec 0 ≤ k ≤ n.

Par exemple, pour les entiers n = 6, n = 10 et n = 20, on obtient les figures ci-dessous :

img1

Partie A Ligne brisée formée à partir de sept points

Dans cette partie, on suppose que n = 6.

Ainsi, pour 0 ≤ k ≤ 6, on a :

z k =( 1+ k 6 ) e i 2kπ 6 .

1 Déterminer la forme algébrique exacte de z1. 0,5 pt

2 Vérifier que z0 et z6 sont des entiers, que l’on déterminera. 0,5 pt

3 Calculer la longueur de la hauteur issue de M1 dans le triangle OM0M1, puis établir que l’aire de ce triangle est égale à 7 3 24 . 0,5 pt

Partie B Ligne brisée formée à partir de n + 1 points

Dans cette partie, n est un entier quelconque supérieur ou égal à 2.

1 Pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n, déterminer la longueur OMk. 0,5 pt

2 Pour k entier tel que 0 ≤ k ≤ n – 1, déterminer une mesure des angles :

( u , OM k )et( u , OM k+1 ).

En déduire une mesure de l’angle ( OM k , OM k+1 ) . 0,5 pt

3 Pour k entier tel que 0 ≤ k ≤ n – 1, démontrer que la longueur de la hauteur issue de Mk + 1 dans le triangle OMkMk + 1 est égale à :

( 1+ k+1 n )×sin( 2π n ). 0,75 pt

4 On admet que l’aire du triangle OMkMk + 1 est égale à :

a k = 1 2 sin( 2π n )×( 1+ k n )( 1+ k+1 n )

et que l’aire totale délimitée par la ligne brisée est égale à :

Ana0a1 +… + an – 1.

L’algorithme suivant permet de calculer l’aire An lorsqu’on entre l’entier n :

Variables :

A est un nombre réel

k est un entier

n est un entier

Traitement :

Lire la valeur de n

A prend la valeur 0

Pour k allant de 0 à n – 1

A prend la valeur

A+ 1 2 sin( 2π n )×( 1+ k n )( 1+ k+1 n )

Fin Pour

Sortie :

Afficher A

On entre dans l’algorithme n = 10.

Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui illustre le fonctionnement de l’algorithme : 1 pt

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

0,323

0,711

1,170

1,705

2,322

3,027

3,826

4,726

5 On admet que A2 = 0, que la suite (An) converge et que :

lim n+ A n = 7π 3 7,3.

Recopier et compléter les lignes L6 et L13 de l’algorithme ci-dessous, qui permet de déterminer le plus petit entier n tel que An ≥ 7,2. On ne demande pas de déterminer n. 0,75 pt

L1

VARIABLES :

A est un nombre réel

 

L2

k est un entier

 

L3

n est un entier

 

L4

TRAITEMENT :

n prend la valeur 2

 

L5

A prend la valeur 0

 

L6

Tant que……………

 

L7

n prend la valeur n + 1

L8

A prend la valeur 0

L9

Pour k allant de 0 à n – 1

L10

A prend la valeur

A+ 1 2 sin( 2π n )×( 1+ k n )( 1+ k+1 n )

L11

Fin Pour

 

L12

Fin Tant que

 

L13

SORTIE :

Afficher…….

 

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