Exercice

1 Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes l’équation (E) d’inconnue z :

z² – 8z + 64 = 0.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O; u → , v → ) . 0,5 pt

2 On considère les points A, B et C d’affixes respectives :

a=4+4i 3 ,b=4–4i 3 etc=8i .

a. Calculer le module et un argument du nombre a. 0,5 pt

b. Donner la forme exponentielle des nombres a et b. 0,5 pt

c. Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle 𝒞 de centre O dont on déterminera le rayon. 0,5 pt

d. Placer les points A, B et C dans le repère (O; u → , v → ) . 0,5 pt

Pour la suite de l’exercice, on pourra s’aider de la figure de la question 2d. complétée au fur et à mesure de l’avancement des questions.

3 On considère les points A′, B′ et C′ d’affixes respectives :

a ′ =a e i π 3 , b ′ =b e i π 3 et c ′ =c e i π 3 .

a. Montrer que b′ = 8. 0,5 pt

b. Calculer le module et un argument du nombre a′. 0,5 pt

Pour la suite, on admet que a ′ =–4+4i 3 et c ′ =–4 3 +4i .

4 On admet que si M et N sont deux points du plan d’affixes respectives m et n, alors le milieu I du segment [MN] a pour affixe m+n 2 et la longueur MN est égale à |n – m|.

a. On note r, s et t les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A′B], [B′C] et [C′A].

Calculer r et s. On admet que t=2–2 3 +i(2+2 3 ) . 0,75 pt

b. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ? Justifier ce résultat. 0,75 pt