Exercice

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un centre de loisirs destiné aux jeunes de 11 ans à 18 ans compte 60 % de collégiens et 40 % de lycéens.

Le directeur a effectué une étude statistique sur la possession de téléphones portables. Cette étude a montré que 80 % des jeunes possèdent un téléphone portable et que, parmi les collégiens, 70 % en possèdent un.

On choisit au hasard un jeune du centre de loisirs et on s’intéresse aux événements suivants :

● C « le jeune choisi est un collégien » ;

● L « le jeune choisi est un lycéen » ;

● T « le jeune choisi possède un téléphone portable ».

Rappel des notations

Si A et B sont deux événements, p(A) désigne la probabilité que l’événement A se réalise et p_B(A) désigne la probabilité de A sachant que l’événement B est réalisé. On note aussi A ¯ l’événement contraire de A.

1 Donner les probabilités p(C), p(L), p(T), p_C(T). 0,75 pt

2 Faire un arbre de probabilités représentant la situation et commencer à le renseigner avec les données de l’énoncé. 0,5 pt

3 Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable. 0,5 pt

4 Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu’il possède un téléphone portable. 0,5 pt

5 a. Calculer p(T ∩ L), en déduire p_L(T). 0,75 pt

b. Compléter l’arbre construit dans la question 2. 0,25 pt

Partie B

En 2012 en France, selon une étude publiée par l’Arcep (Autorité de régulation des communications électroniques et des postes), les adolescents envoyaient en moyenne 83 SMS (messages textes) par jour, soit environ 2 500 par mois. On admet, qu’en France le nombre de SMS envoyés par un adolescent en un mois peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance μ = 2 500 et d’écart-type σ = 650.

Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les probabilités arrondies au millième.

1 Calculer la probabilité qu’un adolescent envoie entre 2 000 et 3 000 SMS par mois. 0,75 pt

2 Calculer p(X ≥ 4 000). 0,5 pt

3 Sachant que p(X ≤ a) = 0,8, déterminer la valeur de a.

On arrondira le résultat à l’unité. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé. 0,5 pt