Exercice

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis éventuellement au millième.

Les parties A et B sont indépendantes.

On s’intéresse à une entreprise chargée de mettre du lait en bouteilles.

PARTIE A Étude du processus de mise en bouteille

La bouteille vide arrive sur un tapis roulant et passe successivement dans deux machines M₁ et M₂. La machine M₁ remplit la bouteille de lait et la machine M₂ met le bouchon.

Une étude statistique portant sur un grand nombre de bouteilles de lait à la fin de la chaîne a permis d’établir que 5 % des bouteilles ne sont pas correctement remplies et que, parmi elles, 8 % ont un bouchon. D’autre part, 4 % des bouteilles correctement remplies n’ont pas de bouchon.

On choisit une bouteille de lait au hasard à la fin de la chaîne et on note :

• R l’événement « la bouteille est correctement remplie » ;

• B l’événement « la bouteille a un bouchon ».

Rappel des notations :

Si A et B sont deux événements donnés, P( A ) désigne la probabilité que l’événement A se réalise et P B (A) désigne la probabilité de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé.

Ā désigne l’événement contraire de l’événement A.

1 Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

2 Déterminer la probabilité que la bouteille soit correctement remplie et qu’elle ait un bouchon.

3 Montrer que la probabilité que la bouteille ait un bouchon est égale à 0,916.

4 Sachant que la bouteille a un bouchon, déterminer la probabilité qu’elle soit correctement remplie.

PARTIE B Production journalière

Une étude sur les dix premières années a montré que la production journalière de bouteilles de lait dans cette entreprise peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne 2 000 et d’écart-type 200.

1 Calculer la probabilité que la production journalière soit comprise entre 1 800 et 2 200 bouteilles.

2 Le service maintenance doit intervenir sur les machines si la production journalière devient inférieure à 1 600 bouteilles. Déterminer la probabilité que le service maintenance intervienne sur les machines.

Rappel :

Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale 𝒩( μ ; σ 2 ) alors :

• P[ X∈( μ−σ ; μ+σ ) ]≈0,683 ;

• P[ X∈( μ−2σ ; μ+2σ ) ]≈0,954 ;

• P[ X∈( μ−3σ ; μ+3σ ) ]≈0,997.