Exercice

Une grande entreprise dispose d’un vaste réseau informatique. On observe le temps de fonctionnement normal séparant deux pannes informatiques. Ce temps sera appelé « temps de fonctionnement ». Soit X la variable aléatoire égale au temps de fonctionnement, exprimé en heures.

On admet que X suit une loi exponentielle de paramètre λ. Le paramètre λ est un réel strictement positif.

On rappelle que, pour tout réel t ≥ 0, p(X≤t)= ∫ 0 t λ e –λx dx.

1 On sait que la probabilité que le temps de fonctionnement soit inférieur à 7 heures est égale à 0,6.

Montrer qu’une valeur approchée de λ à 10^– 3 près est 0,131.

Dans les questions suivantes, on prendra 0,131 pour valeur approchée de λ et les résultats seront donnés à 10^– 2 près.

2 Montrer qu’une valeur approchée de la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 5 heures est égale à 0,52.

3 Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 9 heures sachant qu’il n’y a pas eu de panne au cours des quatre premières heures.

4 Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10 heures.

5 On relève aléatoirement huit temps de fonctionnement, qu’on suppose indépendants. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de relevés correspondant à des temps de fonctionnement supérieurs ou égaux à 5 heures.

a. Quelle est la loi suivie par Y ?

b. Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5 heures.

c. Calculer l’espérance mathématique de Y (on arrondira à l’entier le plus proche).