Exercice

Une entreprise qui produit du papier recyclé, a été créée en l’année 2000 et le tableau ci-dessous donne l’évolution de sa production.

1 a. Déterminer le pourcentage d’augmentation de la production entre les années 2000 et 2012. On donnera le résultat arrondi sous la forme a % où a est un nombre entier.

b. Déterminer un nombre réel positif qui est solution de l’équation x¹² = 9,79. Interpréter ce nombre en termes de taux d’évolution de la production de cette entreprise entre les années 2000 et 2012. On donnera le résultat arrondi sous la forme b % où b est un nombre entier.

2 L’entreprise fait appel à un cabinet d’experts pour modéliser l’évolution de la production de l’entreprise afin de faire une projection jusqu’en 2020. Le cabinet d’experts propose la fonction f définie sur l’intervalle [2 ; 20] par :

f( x )=( 27131 )lnx+0,626 x 3

où x représente le rang de l’année et f( x ) le nombre de tonnes produites.

a. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 20]. Déterminer f ′ ( x ), puis les variations de la fonction f sur [2 ; 20].

b. À l’aide de cette modélisation, l’entreprise peut-elle dépasser une production de 90 000 tonnes de papier recyclé avant l’année 2020 ? Justifier.

3 Une commande de bobines de papier de 2,20 m de large et pesant chacune environ 500 kg est faite à cette entreprise. Le poids d’une bobine varie en fonction de nombreux facteurs.

Soit X la variable aléatoire qui, à toute bobine choisie au hasard dans cette commande, associe son poids. On admet que X suit une loi normale de paramètres μ = 500 et σ = 2.

a. Toute bobine dont le poids est inférieur à 496 kg est refusée. Quelle est la probabilité qu’une bobine choisie au hasard dans cette commande soit refusée ? Donner une valeur arrondie du résultat à 10^– 4.

b. L’entreprise perd de l’argent pour toute bobine dont le poids est supérieur à 506 kg.

Quelle est la probabilité qu’une bobine choisie au hasard dans cette commande fasse perdre de l’argent à l’entreprise ? Donner une valeur arrondie du résultat à 10^– 4.