Exercice

Dans un certain milieu professionnel M, toute personne est tenue de posséder un agenda et de le renouveler chaque année. On supposera qu’aucune personne n’achète plus d’un agenda.

Deux fournisseurs, désignés respectivement par a et b, se partagent le marché des agendas dans le milieu M (donc tout individu faisant partie de M se fournit soit auprès de a, soit auprès de b).

On cherche à prévoir les parts de marché futures de a et b en faisant l’hypothèse que d’une année sur l’autre :

• 76 % des clients de a restent fidèles à a ;

• 64 % des clients de b restent fidèles à b.

Pour l’année 2000, 40 % des individus faisant partie de M ont choisi a et les autres ont choisi b.

On considère une personne prise au hasard dans M.

On note, pour tout entier naturel n :

A_n l’événement « l’année 2000+n, la personne choisit a ».

B_n l’événement « l’année 2000+n, la personne choisit b ».

1 a. Déduire des données les probabilités :

p( A 0 ), p A n ​( A n+1 ) et p B n ​( A n+1 ).

b. Démontrer la relation p( A n+1 )=0,76×p( A n )+0,36×p( B n ).

c. On pose, pour tout entier naturel n, p n =p( A n ). Justifier la relation :

p n+1 =0,4 p n +0,36.

2 On pose, pour tout entier n, u n =0,6− p n.

a. Démontrer que la suite ( u n ) est une suite géométrique de raison 0,4 ; préciser son premier terme u₀.

b. Exprimer u_n, puis p_n, en fonction de n.

c. Calculer la limite de p_n lorsque n tend vers +∞.

3 Exprimés en pourcentages, les nombres p( A n ) et p( B n ) constituent les prévisions, pour une future année 2000+n, des parts de marché respectives de a et b.

Quelle évolution peut-on prévoir à long terme pour les parts de marché respectives de a et b si le comportement de la clientèle reste toujours le même ?