Exercice

Le service qualité d’une entreprise textile contrôle systématiquement la texture et la couleur des tissus qu’elle produit.

Pour être déclaré de « qualité supérieure » un tissu doit subir avec succès les deux contrôles : le premier sur la texture, le second sur la couleur.

À cette fin, le service qualité effectue une étude statistique sur la production d’un mois. Cette étude a montré que :

• 90 % des tissus passent le contrôle sur la texture avec succès.

• Parmi ceux qui ne passent pas avec succès ce premier contrôle, 40 % ont passé le deuxième contrôle sur la couleur avec succès.

• 80 % des tissus sortant de cette entreprise sont déclarés de « qualité supérieure ».

Une machine de contrôle de qualité prélève au hasard un échantillon d’un des tissus produits par cette entreprise pendant le mois d’étude.

On considère les événements suivants :

• T « l’échantillon de tissu prélevé passe avec succès le premier contrôle sur la texture »,

• C « l’échantillon de tissu prélevé passe avec succès le deuxième contrôle sur la couleur »,

• S « l’échantillon de tissu prélevé est déclaré de qualité supérieure ».

Ainsi S = T ∩ C.

Rappels de notation

Soient A et B deux événements

• la probabilité de l’événement A est notée p(A) ;

• si p(B) ≠ 0, p_B(A) désigne la probabilité de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé ;

• l’événement contraire de l’événement A est noté A ¯.

1 À l’aide de l’énoncé, construire un arbre de probabilité décrivant la situation. Il sera complété au cours de la résolution de l’exercice.

2 Démontrer que p T ( C )= 8 9.

3 Interpréter l’événement T∩ C ¯ puis calculer la probabilité de cet événement.

4 Démontrer que la probabilité de l’événement « l’échantillon de tissu prélevé ne passe pas avec succès le contrôle sur la couleur » est égale à 0,16.