Exercice

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 10^– 4 près.

Partie A

En utilisant sa base de données, la Sécurité Sociale estime que la proportion de Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10 %. L’étude a également permis de prouver que 30 % des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d’un accident cardiaque au cours de leur vie, alors que cette proportion n’atteint plus que 8 % pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.

On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les événements :

M « la personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme » ;

C « la personne est victime d’un accident cardiaque au cours de sa vie ».

1 a. Montrer que P(M ∩ C) = 0,03.

b. Calculer P(C)

2 On choisit au hasard une victime d’un accident cardiaque.

Quelle est la probabilité qu’elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?

Partie B

La Sécurité Sociale décide de lancer une enquête de santé publique sur ce problème de malformation cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de 400 personnes, prises au hasard dans la population française.

On note X la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l’échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme.

1 Définir la loi de la variable aléatoire X.

2 Déterminer P(X = 35).

3 Déterminer la probabilité que 30 personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.

Partie C

1 On considère la variable aléatoire F, définie par F= X 400, X étant la variable aléatoire de la partie B.

Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F au seuil de 95 %.

2 Dans l’échantillon considéré, 60 personnes présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.

Qu’en pensez-vous ?