Exercice

Dans une usine, on utilise deux machines A et B pour fabriquer des pièces.

1 La machine A assure 40 % de la production et la machine B en assure 60 %.

On estime que 10 % des pièces issues de la machine A ont un défaut et que 9 % des pièces issues de la machine B ont un défaut.

On choisit une pièce au hasard et on considère les événements suivants :

• A « La pièce est produite par la machine A » ;

• B «  La pièce est produite par la machine B » ;

• D «  La pièce a un défaut » ;

• D̅ l’événement contraire de l’événement D .

a. Traduire la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

b. Calculer la probabilité que la pièce choisie présente un défaut et ait été fabriquée par la machine A.

c. Démontrer que la probabilité P(D) de l’événement D est égale à 0,094.

d. On constate que la pièce choisie a un défaut.

Quelle est la probabilité que cette pièce provienne de la machine A ?

2 On estime que la machine A est convenablement réglée si 90 % des pièces qu’elle fabrique sont conformes.

On décide de contrôler cette machine en examinant n pièces choisies au hasard (n entier naturel) dans la production de la machine A. On assimile ces n tirages à des tirages successifs indépendants et avec remise.

On note X_n le nombre de pièces qui sont conformes dans l’échantillon de n pièces, et F n = X n n la proportion correspondante.

a. Justifier que la variable aléatoire X_n suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

b. Dans cette question, on prend n = 150. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique I au seuil de 95 % de la variable aléatoire F_150.

c. Un test qualité permet de dénombrer 21 pièces non conformes sur un échantillon de 150 pièces produites.

Cela remet-il en cause le réglage de la machine ? Justifier la réponse.