Exercice

Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de ballons de football. Cette entreprise propose deux tailles de ballons :

• une petite taille ;

• une taille standard.

Les trois parties suivantes sont indépendantes.

PARTIE A

Un ballon de football est conforme à la réglementation s’il respecte, suivant sa taille, deux conditions à la fois (sur sa masse et sur sa circonférence).

En particulier, un ballon de taille standard est conforme à la réglementation lorsque sa masse, exprimée en grammes, appartient à l’intervalle [410 ; 450] et sa circonférence, exprimée en centimètres, appartient à l’intervalle [68 ; 70].

1 On note X la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l’entreprise, associe sa masse en grammes.

On admet que X suit la loi normale d’espérance 430 et d’écart-type 10.

Déterminer une valeur approchée à 10^–3 près de la probabilité :

P(410 ≤ X ≤ 450).

2 On note Y la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l’entreprise, associe sa circonférence en centimètres.

On admet que Y suit la loi normale d’espérance 69 et d’écart-type σ.

Déterminer la valeur de σ, au centième près, sachant que 97 % des ballons de taille standard ont une circonférence conforme à la réglementation.

On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite, alors P(– β ≤ Z ≤ β) = 0,97 pour β ≈ 2,17.

PARTIE B

L’entreprise affirme que 98 % de ses ballons de taille standard sont conformes à la réglementation. Un contrôle est alors réalisé sur un échantillon de 250 ballons de taille standard. Il est constaté que 233 d’entre eux sont conformes à la réglementation.

Le résultat de ce contrôle remet-il en question l’affirmation de l’entreprise ? Justifier la réponse.

(On pourra utiliser l’intervalle de fluctuation)

PARTIE C

L’entreprise produit 40 % de ballons de football de petite taille et 60 % de ballons de taille standard.

On admet que 2 % des ballons de petite taille et 5 % des ballons de taille standard ne sont pas conformes à la réglementation. On choisit un ballon au hasard dans l’entreprise.

On considère les événements :

A « le ballon de football est de petite taille » ;

B « le ballon de football est de taille standard » ;

C « le ballon de football est conforme à la réglementation » et C ¯, l’événement contraire de C.

1 Représenter cette expérience aléatoire à l’aide d’un arbre de probabilité.

2 Calculer la probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la réglementation.

3 Montrer que la probabilité de l’événement C est égale à 0,962.

4 Le ballon de football choisi n’est pas conforme à la réglementation. Quelle est la probabilité que ce ballon soit de petite taille ? On arrondira le résultat à 10^–3.