Exercice

Le service marketing d’un magasin de téléphonie a procédé à une étude du comportement de sa clientèle. Il a ainsi observé que celle-ci est composée de 42 % de femmes. 35 % des femmes qui entrent dans le magasin y effectuent un achat, alors que cette proportion est de 55 % pour les hommes.

Une personne entre dans le magasin. On note :

• F l’événement « la personne est une femme » ;

• R l’événement « la personne repart sans rien acheter ».

Pour tout événement A, on note Ā son événement contraire et p(A) sa probabilité.

Dans tout l’exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième. Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

1 Construire un arbre pondéré illustrant la situation. 0,75 pt

2 Calculer la probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin soit une femme et qu’elle reparte sans rien acheter. 0,75 pt

3 Montrer que p(R) = 0,534. 0,75 pt

Partie B

Un client du magasin s’inquiète de la durée de vie du téléphone de type T₁ qu’il vient de s’offrir.

On note X la variable aléatoire qui, à chaque téléphone mobile de type T₁ prélevé au hasard dans la production, associe sa durée de vie, en mois.

On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance µ = 48 et d’écart-type σ = 10.

1 Justifier que la probabilité que le téléphone de type T₁ prélevé fonctionne plus de 3 ans, c’est-à-dire 36 mois, est d’environ 0,885. 0,75 pt

2 On sait que le téléphone de type T₁ prélevé a fonctionné plus de 3 ans. Quelle est la probabilité qu’il fonctionne moins de 5 ans ? 1 pt

Partie C

Le gérant du magasin émet l’hypothèse que 30 % des personnes venant au magasin achètent uniquement des accessoires (housse, chargeur…).

Afin de vérifier son hypothèse, le service marketing complète son étude.

1 Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de personnes ayant uniquement acheté des accessoires dans un échantillon de taille 1 500. 1 pt

2 Le service marketing interroge un échantillon de 1 500 personnes. L’étude indique que 430 personnes ont acheté uniquement des accessoires. Doit-on rejeter au seuil de 5 % l’hypothèse formulée par le gérant ? 1 pt