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Juin
2016
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Spécialité
Tle S
Mathématiques
Arithmétique, matrice, probabilité - Vrai-Faux
Arithmétique
Matrices
Probabilités
Suites
.icon_annales.png Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Sujet 6Arithmétique, matrice, probabilité – Vrai-Faux1 heure

Polynésie, juin 2016

Enseignement de spécialité

Arithmétique
Suites
Matrices
Probabilités

Exercice Vrai-Faux

5 pts

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1 Proposition 1

Pour tout entier naturel n, le chiffre des unités de n2n n’est jamais égal à 4.          1 pt

2 On considère la suite u définie, pour n ≥ 1, par :

u n = 1 n PGCD(20;n).

Proposition 2

La suite (un) est convergente.          1 pt

3 Proposition 3

Pour toutes matrices A et B carrées de dimension 2, on a A × BB × A.          1 pt

4 Un mobile peut occuper deux positions A et B. À chaque étape, il peut soit rester dans la position dans laquelle il se trouve, soit en changer.

Pour tout entier naturel n, on note :

 An l’événement « le mobile se trouve dans la position A à l’étape n » et an sa probabilité.

 Bn l’événement « le mobile se trouve dans la position B à l’étape n » et bn sa probabilité.

 Xn la matrice colonne ( a n b n ) .

On admet que, pour tout entier naturel n, Xn + 1M × Xn avec :

M=( 0,550,3 0,450,7 ).

a. Proposition 4

La probabilité PAn (Bn+1) vaut 0,45.          1 pt

b. Proposition 5

Il existe un état initial X 0 =( a 0 b 0 ) tel que la probabilité d’être en B à l’étape 1 est trois fois plus grande que celle d’être en A à l’étape 1, autrement dit tel que b1 = 3a1.          1 pt

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