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France métropolitaine
Juin
2016
Bac
Spécialité
Tle S
Mathématiques
Points à coordonnées entières sur une droite
Arithmétique
.icon_annales.png Le but de l'exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur m, n, p et q pour qu'une droite rationnelle comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.

Sujet 1Points à coordonnées entières sur une droite1 heure

France métropolitaine, juin 2016

Enseignement de spécialité

Arithmétique

Exercice

5 pts

Pour tout couple d’entiers relatifs non nuls (a, b), on note PGCD(a, b) le plus grand diviseur commun de a et b.

Le plan est muni d’un repère (O; i , j ) .

1 Exemple. Soit Δ1 la droite d’équation y= 5 4 x 2 3 .

a. Montrer que si (x, y) est un couple d’entiers relatifs, alors l’entier 15x – 12y est divisible par 3. 0,5 pt

b. Existe-t-il au moins un point de la droite Δ1 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier. 0,5 pt

Généralisation

On considère désormais une droite Δ d’équation (E) y= m n x p q m, n, p et q sont des entiers relatifs non nuls tels que :

PGCD(m, n) = PGCD(p, q) = 1.

Ainsi, les coefficients de l’équation (E) sont des fractions irréductibles et on dit que Δ est une droite rationnelle.

Le but de l’exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur m, n, p et q pour qu’une droite rationnelle Δ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.

2 On suppose ici que la droite Δ comporte un point de coordonnées (x0, y0), où x0 et y0 sont des entiers relatifs.

a. En remarquant que le nombre n y0 – m x0 est un entier relatif, démontrer que q divise le produit np. 0,5 pt

b. En déduire que q divise n. 0,5 pt

3 Réciproquement, on suppose que q divise n, et on souhaite trouver un couple (x0, y0) d’entiers relatifs tels que :

y 0 = m n x 0 p q .

a. On pose n = qr, où r est un entier relatif non nul. Démontrer qu’on peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que qru – mv = 1. 0,5 pt

b. En déduire qu’il existe un couple (x0, y0) d’entiers relatifs tels que :

y 0 = m n x 0 p q . 0,5 pt

4 Soit Δ la droite d’équation y= 3 8 x 7 4 . Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier. 0,75 pt

5 On donne l’algorithme suivant :

img1

a. Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de M, N, P, Q, entiers relatifs non nuls tels que PGCD(M, N) = PGCD(P, Q) = 1. 0,75 pt

b. Que permet-il d’obtenir ? 0,5 pt

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