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Polynésie
Septembre
2015
Bac
Spécialité
Tle ES
Mathématiques
Graphe probabiliste,matrice de transition, algorithme de Dijkstra
Algorithmique
Arithmétique
Matrices
.icon_annales.png L'objectif affiché par la municipalité est de réduire de moitié la présence des automobiles dans la zone ZTL, dans les deux ans à venir.

39Graphe probabiliste, matrice de transition, algorithme de Dijkstra45 min

Polynésie, septembre 2015

ES – Enseignement de spécialité

Arithmétique

Algorithmique

Matrices

Exercice

5 pts

Dans un plan de lutte contre la pollution urbaine, une municipalité a décidé de réduire l’utilisation des automobiles en ville en instaurant une taxe pour les automobiles circulant dans une zone du centre ville appelée ZTL (Zone à Trafic Limité) et de développer un réseau de navettes.

Partie A

L’objectif affiché par la municipalité est de réduire de moitié la présence des automobiles dans la zone ZTL, dans les deux ans à venir.

Initialement, 40 % des automobiles circulant dans la ville, circulaient dans cette zone ZTL. Suite à l’instauration de la taxe, l’évolution du trafic dans la ville a été suivie mois après mois.

L’étude a révélé que, parmi les automobiles circulant dans la ville :

3 % des automobiles circulant dans la zone ZTL n’y circulaient plus le mois suivant.

0,2 % des automobiles qui ne circulaient pas dans la zone ZTL ont été amenés à y circuler le mois suivant.

On note Z l’état « l’automobile a circulé dans la zone ZTL au cours du mois » et Z ¯ l’état « l’automobile n’a pas circulé dans la zone ZTL au cours du mois ».

Pour tout entier naturel n, on note :

an la proportion d’automobiles circulant dans la zone ZTL au cours du n-ième mois ;

bn la proportion d’automobiles ne circulant pas dans la zone ZTL au cours du n-ième mois ;

Pn = (an   bn) la matrice ligne donnant l’état probabiliste après n mois.

On a an + bn = 1 et P0 = (0,4   0,6).

1 Représenter la situation à l’aide d’un graphe probabiliste de sommets Z et Z ¯ .

2a. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe (la première colonne concerne Z et la deuxième colonne Z ¯ ).

b. Vérifier que P1 = (0,3892   0,6108).

3 L’objectif affiché par la municipalité sera-t-il atteint ?

Partie B

Un réseau de navettes gratuites est mis en place entre des parkings situés aux abords de la ville et les principaux sites de la ville.

Le graphe ci-dessous indique les voies et les temps des liaisons, en minutes, entre ces différents sites.

img1

1 Peut-on envisager un itinéraire qui relierait le parking P à la gare G en desservant une et une seule fois tous les sites ?

2 Peut-on envisager un itinéraire qui emprunterait une et une seule fois toutes les voies ?

3 Déterminer un trajet de durée minimale pour se rendre du parking P à la gare G.

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