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Polynésie
Juin
2016
Bac
Spécifique
Tle ES
Mathématiques
Algorithme, suite : application économique
Algorithmique
Suites
.icon_annales.png Une entreprise s'intéresse au nombre d'écrans 3D qu'elle a vendus depuis 2010.

Sujet 5Algorithme, suite : application économique1 heure

Polynésie, juin 2016

ES – Enseignement spécifique
L – Enseignement de spécialité

Algorithmique

Suites

Exercice

7 pts

Une entreprise s’intéresse au nombre d’écrans 3D qu’elle a vendus depuis 2010 :

Année

2010

2011

2012

Nombres d’écrans 3D vendus

0

5 000

11 000

Le nombre d’écrans 3D vendus par l’entreprise l’année (2010 + n) est modélisé par une suite (un), arithmético-géométrique, de premier terme u0 = 0.

On rappelle qu’une suite arithmético-géométrique vérifie, pour tout entier naturel n, une relation de récurrence de la forme :

un+1 = a × un + b,

a et b sont deux réels.

1a. En supposant que u1 = 5 000, déterminer la valeur de b. 0,5 pt

b. En supposant, de plus, que u2 = 11 000, montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

un+1 = 1,2 × un + 5 000. 0,5 pt

2a. Calculer u3 et u4. 0,5 pt

b. En 2013 et 2014, l’entreprise a vendu respectivement 18 000 et 27 000 écrans 3D. La modélisation semble-t-elle pertinente ? 0,75 pt

Dans toute la suite, on fait l’hypothèse que le modèle est une bonne estimation du nombre d’écrans 3D que l’entreprise va vendre jusqu’en 2022.

3 On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :

vn = un + 25 000.

a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 1,2. Préciser la valeur de son premier terme v0. 0,75 pt

b. Montrer que pour tout entier naturel n :

un = 25 000 × 1,2n – 25 000. 0,75 pt

4 On souhaite connaître la première année pour laquelle le nombre de ventes d’écrans 3D dépassera 180 000 unités.

a. Prouver que résoudre l’inéquation un > 180 000 revient à résoudre l’inéquation 1,2n > 8,2. 0,75 pt

b. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il détermine et affiche le plus petit entier naturel n, solution de l’inéquation 1,2n > 8,2. 1 pt

Variables :

 

Initialisation :

 

 

 

 

 

Sortie :

N est un entier naturel

W est un nombre réel

N prend la valeur 0

N prend la valeur …

Tant que ………

W prend la valeur W × 1,2

……………

Fin du Tant que

Afficher …

c. Déterminer cet entier naturel n. 0,75 pt

5 À partir de 2023, l’entreprise prévoit une baisse de 15 % par an du nombre de ses ventes d’écrans 3D. Combien d’écrans 3D peut-elle prévoir de vendre en 2025 ? 0,75 pt

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