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Avril
2016
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Mathématiques
Probabilité, probabilité conditionnelle, loi normale, interprétation graphique
Algorithmique
Suites
.icon_annales.png En janvier 2016, une personne se décide à acheter un scooter coûtant 5700 euros sans apport personnel.

Sujet 7Probabilité, probabilité conditionnelle, loi normale, interprétation graphique45 min

Inde, avril 2016

ES – Enseignement spécifique
L – Enseignement de spécialité

Suites

Algorithmique

Exercice

5 pts

En janvier 2016, une personne se décide à acheter un scooter coûtant 5 700 euros sans apport personnel. Le vendeur lui propose un crédit à la consommation d’un montant de 5 700 euros, au taux mensuel de 1,5 %. Par ailleurs, la mensualité fixée à 300 euros est versée par l’emprunteur à l’organisme de crédit le 25 de chaque mois. Ainsi, le capital restant dû augmente de 1,5 %, puis baisse de 300 euros.

Le premier versement a lieu le 25 février 2016.

On note un le capital restant dû en euros juste après la n-ième mensualité (n entier naturel non nul). On convient que u0 = 5 700.

Les résultats seront donnés sous forme approchée à 0,01 près si nécessaire.

1a. Démontrer que u1, capital restant dû au 26 février 2016, juste après la première mensualité, est de 5 485,50 euros. 0,5 pt

b. Calculer u2. 0,5 pt

2 On admet que la suite (un) est définie pour tout entier naturel n par :

un+l = 1,015un – 300.

On considère l’algorithme suivant :

Variables :

 

Traitement :

 

 

 

 

 

Sortie :

n est un entier naturel

u est un nombre réel

Affecter à u la valeur 5 700

Affecter à n la valeur 0

Tant que u > 4 500 faire

u prend la valeur 1,015 × u − 300

n prend la valeur n + 1

Fin Tant que

Afficher n

a.  Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire entre la deuxième et la dernière colonne. 0,5 pt

Valeur de u

5 700

Valeur de n

0

u > 4 500 (vrai/faux)

vrai

vrai

faux

b. Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ?

Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice. 0,5 pt

3 Soit la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :

vn = un – 20 000.

a. Montrer que pour tout entier naturel n, on a :

vn+1 = 1,015 × vn. 0,5 pt

b. En déduire que pour tout entier naturel n, on a :

un = 20 000 – 14 300 × 1,015n. 0,5 pt

4 À l’aide de la réponse précédente, répondre aux questions suivantes :

a. Démontrer qu’une valeur approchée du capital restant dû par l’emprunteur au 26 avril 2017 est 2 121,68 euros. 0,5 pt

b. Déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour rembourser intégralement le prêt. 0,5 pt

c. Quel sera le montant de la dernière mensualité ? 0,5 pt

d. Lorsque la personne aura terminé de rembourser son crédit à la consommation, quel sera le coût total de son achat ? 0,5 pt

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