Exercice

1 On considère l’ensemble A₇ = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.

a. Pour tout élément a de A₇, écrire dans le tableau figurant ci-dessous l’unique élément y de A₇ tel que ay ≡ 1 (modulo 7).

b. Pour x entier relatif, démontrer que l’équation 3x ≡ 5 (modulo 7) équivaut à x ≡ 4 (modulo 7).

c. Si a est un élément de A₇, montrer que les seuls entiers relatifs x solutions de l’équation ax ≡ 0 (modulo 7) sont les multiples de 7.

2 Dans toute cette question, p est un nombre premier supérieur ou égal à 3. On considère l’ensemble A_p = {1 ; 2 ; … ; p – 1} des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à p. Soit a un élément de A_p.

a.Vérifier que a^p – 2 est une solution de l’équation ax ≡ 1 (modulo p).

b. On note r le reste dans la division euclidienne de a^p – 2 par p. Démontrer que r est l’unique solution x dans A_p, de l’équation :

ax ≡ 1 (modulo p).

c. Soit x et y deux entiers relatifs. Démontrer que xy ≡ 0 (modulo p) si, et seulement si, x est un multiple de p ou y est un multiple de p.

d. Application : p = 31.

Résoudre dans A₃₁ les équations :

2x ≡ 1 (modulo 31) et 3x ≡ 1 (modulo 31).

À l’aide des résultats précédents, résoudre dans ℤ l’équation :

6x² – 5x + 1 ≡ 0 (modulo 31).