Exercice

Partie A

Soit f la fonction définie sur [0 ; 8] par f( x )= 0,4 20 e −x +1 +0,4.

1 Montrer que f ′ ( x )= 8 e −x ( 20 e −x +1 ) 2 , où f′ désigne la fonction dérivée de la fonction f. 1 pt

2 Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

En s’appuyant sur ces résultats, déterminer l’intervalle sur lequel la fonction f est convexe. 1 pt

Partie B

Dans une région montagneuse, une entreprise étudie un projet de route reliant les villages A et B situés à deux altitudes différentes. La fonction f, définie dans la partie A, modélise le profil de ce projet routier. La variable x représente la distance horizontale, en kilomètres, depuis le village A et f(x) représente l’altitude associée, en kilomètres.

La représentation graphique 𝒞_f  de la fonction f est donnée ci-dessous.

Dans cet exercice, le coefficient directeur de la tangente 𝒞_f en un point M est appelé « pente en M ».

On précise aussi qu’une pente en M de 5 % correspond à un coefficient directeur de la tangente à la courbe de f en M égal à 0,05.

Il est décidé que le projet sera accepté à condition qu’en aucun point de 𝒞_f , la pente ne dépasse 12 %.

Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Proposition 1

L’altitude du village B est 0,6 km. 0,75 pt

Proposition 2

L’écart d’altitude entre les villages A et B est 378 mètres, valeur arrondie au mètre. 0,75 pt

Proposition 3

La pente en A vaut environ 1,8 %. 0,75 pt

Proposition 4

Le projet de route ne sera pas accepté. 0,75 pt